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人教版九年级上册数学全册导学案（含答案）

第二十一章　一元二次方程

21．1　一元二次方程

1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

2．掌握一元二次方程的一般形式ax²＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．

3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．

难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x²－75x＋350＝0__．①

 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x²－x－56＝0__．②

探究：

(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．

(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．

1．一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax²＋bx＋c＝0(a≠0)．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax²__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)

1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x³－2x²＋5＝0；　　　　(2)x²＝1；

(3)5x²－2x－＝x²－2x＋；

 (4)2(x＋1)²＝3(x＋1)；

(5)x²－2x＝x²＋1;  (6)ax²＋bx＋c＝0.

解：(2)(3)(4)．

点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：去括号，得3x²－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x²－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．求证：关于x的方程(m²－8m＋17)x²＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：m²－8m＋17＝(m－4)²＋1，

∵(m－4)²≥0，

∴(m－4)²＋1>0，即(m－4)²＋1≠0.

∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m²－8m＋17≠0即可．

2．下面哪些数是方程2x²＋10x＋12＝0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x²＋10x＋12＝0的两根．

点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)

1．判断下列方程是否为一元二次方程．

(1)1－x²＝0;  (2)2(x²－1)＝3y；

(3)2x²－3x－1＝0;  (4)－＝0；

(5)(x＋3)²＝(x－3)^2; (6)9x²＝5－4x.

解：(1)是；(2)不是；(3)是；

(4)不是；(5)不是；(6)是．

2．若x＝2是方程ax²＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

解：∵x＝2是方程ax²＋4x－5＝0的一个根，

∴4a＋8－5＝0，

　解得a＝－.

3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

解：(1)4x²＝25，4x²－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x²－2x－100＝0.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.

3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2　解一元二次方程

21．2.1　配方法(1)

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

重点：运用开平方法解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x²＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm²，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x²__dm²，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

__10×6x²＝1500__，

由此可得__x²＝25__，

根据平方根的意义，得x＝__±5__，

即x₁＝__5__，x₂＝__－5__．

可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.

探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)²＝5及方程x²＋6x＋9＝4?

方程(2x－1)²＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±__，即将方程变为__2x－1＝和__2x－1＝－__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)²＝5的两个解为x₁＝__，x₂＝____．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x²＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)²＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x₁＝__－1__，x₂＝__－5__.

归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x²＝p(p≥0)或(mx＋n)²＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)

解下列方程：

(1)2y²＝8；　　　　　　　(2)2(x－8)²＝50；

(3)(2x－1)²＋4＝0;  (4)4x²－4x＋1＝0.

解：(1)2y²＝8，(2)2(x－8)²＝50，

y²＝4，(x－8)²＝25，

y＝±2，x－8＝±5，

∴y₁＝2，y₂＝－2；　　x－8＝5或x－8＝－5，

∴x₁＝13，x₂＝3；

(3)(2x－1)²＋4＝0，(4)4x²－4x＋1＝0，

(2x－1)²＝－4<0，(2x－1)²＝0，

∴原方程无解；　　　　　　2x－1＝0，

∴x₁＝x₂＝.

点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x²＝p(p≥0)或(mx＋n)²＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)(3x＋1)²＝7;  (2)y²＋2y＋1＝24；

(3)9n²－24n＋16＝11.

解：(1)；(2)－1±2；(3).

点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)²＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．已知关于x的方程x²＋(a²＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．

解：±1.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)

用直接开平方法解下列方程：

(1)3(x－1)²－6＝0;  (2)x²－4x＋4＝5；

(3)9x²＋6x＋1＝4;  (4)36x²－1＝0；

(5)4x²＝81;  (6)(x＋5)²＝25；

(7)x²＋2x＋1＝4.

解：(1)x₁＝1＋，x₂＝1－；

(2)x₁＝2＋，x₂＝2－；

(3)x₁＝－1，x₂＝；

(4)x₁＝，x₂＝－；

(5)x₁＝，x₂＝－；

(6)x₁＝0，x₂＝－10；

(7)x₁＝1，x₂＝－3.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解x²＝p(p≥0)或(mx＋n)²＝p(p≥0)中，为什么p≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1　配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)²＝b的过程．

(2分钟)

1．填空：

(1)x²－8x＋__16__＝(x－__4__)²；

(2)9x²＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)²；

(3)x²＋px＋__()²__＝(x＋____)².

2．若4x²－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16 m²，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为xm，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16m²，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x²＋6x－16＝0__．

探究：怎样解方程x²＋6x－16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x²＋6x＋9＝4，可以发现方程x²＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x²＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x²＋6x＝16，

两边都加上__9__即__()²__，使左边配成x²＋bx＋()²的形式，得

__x²__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__(x＋3)²＝25__，

开平方，得

__x＋3＝±5__，(降次)

即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，

解一次方程，得x₁＝__2__，x₂＝__－8__．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：解下列方程：

(1)3x²－1＝5；　　　(2)4(x－1)²－9＝0；

(3)4x²＋16x＋16＝9.

解：(1)x＝±；(2)x₁＝－，x₂＝；

(3)x₁＝－，x₂＝－.

归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

(1)把方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0；

(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

(3)方程两边同时除以二次项系数a；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)

1．填空：

(1)x²＋6x＋__9__＝(x＋__3__)²；

 (2)x²－x＋____＝(x－____)²；

(3)4x²＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)².

2．解下列方程：

(1)x²＋6x＋5＝0;  (2)2x²＋6x＋2＝0；

(3)(1＋x)²＋2(1＋x)－4＝0.

解：(1)移项，得x²＋6x＝－5，

配方得x²＋6x＋3²＝－5＋3²，(x＋3)²＝4，

由此可得x＋3＝±2，即x₁＝－1，x₂＝－5.

(2)移项，得2x²＋6x＝－2，

二次项系数化为1，得x²＋3x＝－1，

配方得x²＋3x＋()²＝(x＋)²＝，

由此可得x＋＝±，即x₁＝－，

x₂＝－－.

(3)去括号，整理得x²＋4x－1＝0，

移项得x²＋4x＝1，

配方得(x＋2)²＝5，

x＋2＝±，即x₁＝－2，x₂＝－－2.

点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：

(8－x)(6－x)＝××8×6，

即x²－14x＋24＝0，

(x－7)²＝25，

x－7＝±5，

∴x₁＝12，x₂＝2，

x₁＝12，x₂＝2都是原方程的根，但x₁＝12不合题意，舍去．

答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．

点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)

1．用配方法解下列关于x的方程：

(1)2x²－4x－8＝0；　　　　(2)x²－4x＋2＝0；

(3)x²－x－1＝0 ;  (4)2x²＋2＝5.

解：(1)x₁＝1＋，x₂＝1－；

(2)x₁＝2＋，x₂＝2－；

(3)x₁＝＋，x₂＝－；

(4)x₁＝，x₂＝－.

2．如果x²－4x＋y²＋6y＋＋13＝0，求(xy)^z的值．

解：由已知方程得x²－4x＋4＋y²＋6y＋9＋＝0，即(x－2)²＋(y＋3)²＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

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