最全！点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集（建议收藏）

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 [警示·易错提醒]

1．不要随意推广平面几何中的结论

平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．

2．弄清楚空间点、线、面的位置关系

解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．

3．不要忽略异面直线所成的角的范围

求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．

两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

4．透彻理解直线与平面的关系

直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．

5．使用判定定理时不要忽略条件

应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点

专题1　共点、共线、共面问题

(1)证明共面问题．

证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

(2)证明三点共线问题．

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

(3)证明三线共点问题．

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

 [例1]　如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.

又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.

所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．

(2)因为G，H不是BC，CD的中点，

所以EF∥GH，且EF≠GH.

所以EG与FH必相交，设交点为M.

而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，

所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.

因为平面ABC∩平面ACD＝AC，

所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．

归纳升华

证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化．

[变式训练]　三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α ∩β＝c，β ∩γ＝a，γ ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．

证明：如图所示，因为α ∩γ＝b，β ∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.

因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．

设α ∩b＝P，则P ∈a，P ∈b.

因为a ⊂β，b⊂α，所以P ∈β，P ∈α.

又α ∩β＝c，所以P ∈c.

所以a，b，c三条直线必相交于同一点．

专题2　空间中的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．

(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．

(3)两个平面的位置关系：平行、相交．

[例2]　已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．

答案：B

归纳升华

若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．

[变式训练]　下列命题正确的有(　　)

①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．

A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个

解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．故选B.

答案：B

专题3　平行问题和垂直问题

线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化．在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重．

[例3]　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)，知PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD，

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

归纳升华

1．平行关系的转化．

面面平行的性质是线线平行的判定

要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向

2．垂直关系的转化．

面面垂直的性质是线线垂直的判定

在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．

[变式训练]　如图所示，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC＝CC₁.设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁＝E.

求证：(1)DE∥平面AA₁C₁C；

(2)BC₁⊥AB₁.

证明：(1)由题意知，E为B₁C的中点，又D为AB₁的中点，因此DE∥AC.

因为DE⊄平面AA₁C₁C，AC⊂平面AA₁C₁C，所以DE∥平面AA₁C₁C.

(2)因为棱柱ABC­A₁B₁C₁是直三棱柱，

所以CC₁⊥平面ABC，所以AC⊥CC₁.

又AC⊥BC，BC∩CC₁＝C，

所以AC⊥平面BCC₁B₁，所以BC₁⊥AC.

因为BC＝CC₁，所以矩形BCC₁B₁是正方形，因此BC₁⊥B₁C.

因为AC∩B₁C＝C，所以BC₁⊥平面B₁AC.

又AB₁⊂平面B₁AC，所以BC₁⊥AB₁.

专题4　空间角的求解

空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．

[例4]　如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的度数；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．

解：(1)因为A′C′∥AC，

所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，

所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.

所以OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝

，sin∠OAC＝ACOC＝21，

所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.

(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，

因为平面BC′⊥平面ABCD，

所以OE⊥平面ABCD，

∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝21，

(3)因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB.

又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

归纳升华

求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角．

[变式训练]　如图所示，平面角为锐角的二面角α­EFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的大小．

解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB.

则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．

又∠GAH是AG与β 所成的角，

 专题5　转化与化归思想在立体几何中的应用

立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．

(1)线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行线面平行线线平行，面面垂直线面垂直线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的．

(2)通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题．

(3)通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．

[例5]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.

证明如下：如图，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝21PB.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是BD的中点，所以OF∥PD.

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD.

又AM綊21PB，所以PF綊MA.

所以四边形AFPM是平行四边形，

所以AF∥PM.

又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，

所以平面AFC∥平面PMD.

归纳升华

证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]　在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.

(1)求证：PA∥平面EDB；

(2)求证：PB⊥平面EFD.

证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接EO.

因为底面ABCD是正方形，

所以O是AC的中点，

所以在△PAC中，EO是中位线，

所以PA∥EO.

又因为EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

所以PA∥平面EDB.

(2)因为PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，

所以PD⊥DC.

因为PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形．

又因为DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.

因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，

所以BC⊥平面PDC.

又因为DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.

所以DE⊥平面PBC.

又因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.

又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD.

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