我们应该如何纪念登月（二）航天的基本原理| 袁岚峰

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导读当火箭在前进时，其实是一部分在燃烧的燃料，在推动箭体以及那些没有在燃烧的燃料前进。燃料越多，用于推动燃料本身的消耗就越大。这是一种巨大的浪费，但我们没办法把它减少。所以无怪乎，让火箭加速一点所需的燃料会指数增长。

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在上一期中，我们解读了登月阴谋论（我们应该如何纪念登月（一）为什么登月阴谋论是荒谬的 | 袁岚峰），指出了这种观点的荒谬之处。现在，我们来介绍建设性的内容：航天的基本原理。

现在一提到航天，默认的工具就是火箭，但这绝不是个显而易见的发现。在火箭之前，人们努力地想过其他办法。

例如被称为“航天之父”的俄罗斯科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基（Konstantin Eduardovich Tsiolkovski，1857-1935）在16岁的时候，就想到了利用离心力。这使他极度兴奋，以为发现了通向星际空间的道路。他后来回忆说：

“当时我简直高兴得发狂，那一晚我整夜都无法入睡。我慢慢地在莫斯科的大街上徘徊，一直思考着这一发现的伟大意义。但到了第二天黎明，我终于认识到我的推理是错误的。”

 齐奥尔科夫斯基

为什么航天这么困难呢？为什么平时用的汽车、轮船、飞机都不能用呢？因为航天要解决的是在真空中运动的问题，而真空中没有介质可以利用，无处着力。作为对比，汽车、轮船、飞机可以利用地面、水和空气的摩擦力和浮力，前进是很容易的。

我小时候非常爱看科幻小说，尤其是被称为“科幻小说之父”的凡尔纳（Jules Gabriel Verne，1828-1905）的作品。他的一部小说《从地球到月球》，说的是美国在南北战争后，一个“大炮俱乐部”发射了一颗巨大的炮弹，带着三位勇敢的探险家从地球飞到了月球。

《从地球到月球》

在此书的续作《环绕月球》中，这颗炮弹没有在月球着陆，只是环绕了月球，然后又飞回了地球，在太平洋坠落。三位旅行家被一艘军舰救起，并受到了美国人民的热烈欢迎。

《环绕月球》

咦，你有没有觉得这个场景很眼熟？是的，阿波罗计划登月归来的航天员们，就是乘坐返回舱在海里坠落的，有美国的军舰打捞他们。海上降落比陆上安全，因为减缓了冲击。在这个意义上，凡尔纳的书真是非常具有预见性。

不过，用炮弹登月实际上是不可行的，因为能量全都来自初始的发射，这意味着最初的加速度非常之大，超出了人类的生理极限，乘员会当场死亡。如果乘员是机器人，也许还可以考虑。因此，我们需要寻找能够在真空中持续加速的办法。

武侠小说中经常出现这样的描写：“他的左脚一踩右脚，又上升了一丈！”这当然是违反力学原理的笑话，因为在你的左脚上升的同时，你的右脚却下降了，所以你的整体不可能上升。用专业术语来说，就是动量守恒定律的一个著名推论：内力不做功。同样的道理，提着自己的头发不可能脱离地面，即使你的力气再大也不行。

不过，这样的分析也给了我们一个启示：如果把上升的部分和下降的部分分开，上升的部分就确实可以上升。当然，这不是让你把右脚砍掉或者把头发以下的部分都砍掉，而是说，你可以通过喷射物质来向反方向运动。这就是火箭的基本原理，它的强大之处在于不依赖任何介质，可以在真空中推进。

在火箭推进方面，中国也许还是世界的先驱。据说明朝有一位官员叫做万户，当然这也可能是他的官位，总之大家把他称为万户。万户先生勇敢地想飞向天空。他坐在绑着47支火箭的椅子上，手里拿着风筝，但在起飞后就爆炸牺牲了。

万户飞天

许多科学家把万户称为世界航天第一人，国际天文联合会还将月球背面的一座环形山命名为“万户”。其实这个人是否存在并不重要，重要的是这种精神。人类，永远都不能失去梦想！

有些人认为登月是骗局的一个理由就是：月球上没有空气，航天员怎么起飞？现在你知道答案了，火箭不需要月球上有空气，只需要向月球表面喷射物质就行了。

具体而言，人类到目前为止用的火箭都是化学火箭，即能量来自化学反应。火箭自带燃料，又称为推进剂，包括氧化剂和还原剂，让它们发生反应。常用的燃料包括液氢、液氧、煤油、偏二甲肼、四氧化二氮等等。燃烧的产物向后高速喷射，推动火箭前进。因此，月球上没有空气不但不影响火箭起飞，甚至还是一个优点，因为没有了空气阻力。

顺便说一句，我大学上的科大化学物理系最初的两个专业之一叫做高速化学反应动力学，用大白话说就是火箭推进剂。首任系主任是中国科学院力学研究所副所长郭永怀（1909-1968）院士，他是“两弹一星”元勋中唯一的一位烈士，1968年为了保护核试验数据壮烈牺牲。再顺便说一句，郭永怀的同门师兄、宗师级的航天科学家钱学森（1911-2009）是科大近代力学系的首任系主任。所以，你明白科大这两个系是干什么的了吧？

郭永怀和钱学森在中国科学院力学研究所

火箭的定性原理很容易理解，不过要定量理解火箭的能力，就需要一些数学推导了。这里需要的数学也不难，到常微分方程就够了。看不懂推导的同学可以跳过，直接看结果也能理解个八九不离十。

把某个时刻t火箭的质量记为m，火箭的速度记为v。值得注意的是，火箭的质量是在变化的，因为它在喷出物质。我们想求的，就是火箭速度v和质量m之间的关系。

在从t到t + dt的一段短暂的时间里，火箭的质量从m变成了m + dm，速度从v变成了v + dv。请注意这里的dv是正的，因为速度在增加，而dm是负的，因为质量在减小。在这段时间里，喷射物的质量是-dm，这是一个正值。

为了方便推导，我们忽略重力和空气阻力。那么能够把前后两个时刻联系起来的关系，是动量守恒，即：

火箭在t + dt时刻的动量 + dt时间内喷射物的动量 = 火箭在t时刻的动量。

火箭在t时刻的动量就是mv，在t + dt时刻的动量就是(m + dm) (v + dv)。这两个很容易表示，不过在这段时间里喷射物的动量是什么呢？它的质量等于-dm，但它的速度等于多少？

因此，我们需要引入一个新的符号v_r，用来表示喷射物相对于火箭的速度，即喷射速度，它基本上是一个常量。所以，喷射物的速度就等于v + v_r。如果把火箭前进的方向定义为正方向，v_r就是负的，而v是正的。

现在，我们需要的所有元素都齐了，这个微分方程可以完整地写出来了：

把这个等式展开化简，左右两边都消掉mv，再忽略二阶无穷小量dm dv，就得到剩下的一阶无穷小量dv与dm之间的关系：

移项，再在两边都除以m，就得到了一个简单的微分关系式：

给定边界条件，就可以把这个等式积分出来。边界条件是什么呢？

在火箭的最初状态，速度等于0，质量是最大值，包括燃料、箭身与载荷的全部质量，我们可以把它记为m_max。在火箭的最终状态，速度达到最大值，我们可以把它记为v_m，而质量达到最小值，即燃料都烧完了，只剩箭身和载荷的质量，我们可以把它记为m_min。

因此我们得到结论，火箭能够达到的最高速度是：

为什么会出现一个负号呢？别忘了，喷射速度和火箭前进速度是反向的。所以在计算速率的时候，只需要把正值代进去就行了。

举个例子，假如一种火箭的喷射速度是4公里每秒，初始质量和最终质量的比值是e，也就是自然对数的底，约等于2.718，那么它能达到的最高速度就是4公里每秒。而如果喷射速度不变，把质量比提高到e的平方即7.39，那么最高速度就是8公里每秒。

这个公式是齐奥尔科夫斯基在1903年提出的，所以叫做齐奥尔科夫斯基公式，它是现代所有的导弹、卫星等航天科技的基础。你看，了解这样高深的科技并不困难，只需要大学程度的数学就够了！

齐奥尔科夫斯基公式给出了若干点重要的蕴涵。

首先，它告诉我们，决定火箭最高速度的因素很简单，只有两条，就是喷射速度和最初与最终的质量比。因此，我们努力的方向，就是提高喷射速度和质量比。

其次，它告诉我们，火箭速度没有上限，例如完全可以超过喷射速度，只要质量比超过e就行了。这是一个好消息。

但紧接着就有一个坏消息：最高速度与质量比之间的关系是对数函数。为什么这是一个坏消息？因为对数函数是一种增长极慢的函数。慢到什么程度呢？比任意的多项式都慢，例如比x的0.001次方都慢。

自然对数

因此，火箭速度越高，想让火箭速度再提高一点所需要增加的燃料就越多。用经济学的术语说，增加燃料的边际收益是指数下降的。所以，火箭速度虽然没有上限，但越到后来提升得越困难。即使把整个地球的化学燃料都烧掉，也提升不了太多。

对于这个结论，不通过数学推导也很容易理解。当火箭在前进时，其实是一部分在燃烧的燃料，在推动箭体以及那些没有在燃烧的燃料前进。燃料越多，用于推动燃料本身的消耗就越大。这是一种巨大的浪费，但我们没办法把它减少。所以无怪乎，让火箭加速一点所需的燃料会指数增长。

作为一个类比，政府的官僚体系和企业的管理体系都往往有指数增长的趋势。比如说增加了一个地区的业务，那么需要增加人手来管理这个地区，然后在上一层又需要增加人来管理这些增加的人，然后在再上一层又需要增加人来管理这些增加的人……这样恶性循环下去，机构很快就膨胀得不成样子，王朝衰亡和大企业病就是这样造成的。

以上这些，是单纯观察齐奥尔科夫斯基公式就能看出来的。对火箭内行来说，还有一件哭笑不得的事：虽然燃料的质量在整个火箭的质量中占了很大一部分，但燃料的成本在整个火箭的成本中却只占微不足道的的比例（火箭为什么要分级，单级火箭可以入轨吗？）。在这方面，火箭跟核电站一样，燃料的成本都可以忽略不计。

火箭各部分价格与质量分布

这是为什么呢？因为火箭的绝大部分成本是在发动机、机体和电子器件上，这些部件需要极其精密的加工。而燃料不需要特定的形状，一股脑儿加进去就行，所以比那些固定件便宜太多了。

这说明，火箭性能的瓶颈不在于燃料的价格，而在于火箭的体积。你即使想加更多的燃料，火箭也放不下啊！或者说，瓶颈不在于燃料的价格，而在于箭体的价格。好比一辆豪华汽车不能跑得更快，你以为我缺的是油吗？不是，我缺的是那辆车！

因此，航天成本高昂的一个基本原因，是目前的运载工具都是一次性的。如果能够解决这个问题，下一个基本原因是，引力给飞船减速的时候我们要耗费巨大的能量去克服，而引力给飞船加速的时候我们却不能把能量存下来，甚至还要消耗能量去制动，也就是说我们目前还没有能量回收装置。

以上这些问题，给火箭的能力设置了严重的障碍。

有人可能会问：火箭速度低一点，又有什么关系？多飞一会儿不就行了？

回答是：不行！对于某些目标，火箭速度必须超过某些阈值，否则就毫无用处。

大家能想到这些目标是什么吧？

聪明的你肯定已经想到了，这些目标就是：环绕地球，即不落到地球上；飞出地球，即摆脱地球的引力场；以及飞出太阳系。它们对应的最低速度，就是第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度，分别等于7.9、11.2和16.7公里每秒。

三个宇宙速度

为什么慢慢飞不能达到目标呢？因为地球和太阳是有引力的，火箭在太空中并不是自由运动，而是要受到引力的影响。如果速度不能达到这些阈值，那么即使你离得再远，早晚会被拽回来。正如广场舞大妈的格言：只要我的速度够快，寂寞就追不上我！

因此，火箭速度不是多一点少一点的问题，而是0和1的问题。那么问题来了，在齐奥尔科夫斯基的时代，人们就发现，以当时的推进剂和箭体材料技术，火箭速度连发射卫星的要求都达不到，更不用说飞向月球和深空了（http://www.calt.com/n488/n753/c4877/content.html）。

在这样严峻的情况面前，有什么办法进一步提高速度呢？

让我们回想一下，火箭速度很难提高的原因，在于大量的推力被浪费在了推动载荷之外的质量上。那么，如果我们及时地抛弃用不着的部件，就可以节约推力，提高速度。

根据这条思路，齐奥尔科夫斯基想出了一个办法：火箭分级。先启动第一级火箭，烧完后就把第一级的箭体抛弃，启动第二级火箭。这样就减轻了质量。然后如果有需要的话，还可以抛弃第二级火箭，启动第三级火箭，以此类推。基本的思想就是：轻装上阵。

这样做的好处有多大呢？

假设有两支火箭A和B，用同样的燃料和同样的总质量，喷射速度都是4公里每秒（火箭为什么要分级，单级火箭可以入轨吗？）。火箭A只有一级，总质量2吨，燃料1.5吨，那么它的最高速度是5.5公里每秒。火箭B分为两级，每一级1吨，燃料0.75吨，那么它的最高速度是7.4公里每秒。一下子就提高了35%，可谓立竿见影。

再细究起来，分级的好处还包括，每一级火箭可以在最合适的条件下工作，以及根据不同的任务可以灵活地选择每一级推力的大小和工作时间的长短。因此，我们现在用的火箭绝大多数都是分级的。

那么，火箭的级数越多越好吗？那也不是。增加分级固然可以提高速度，但也会让火箭结构变得更加复杂，降低了可靠性。而且增加分级跟增加燃料一样，边际收益也是递减的。因此权衡的结果是，大多数火箭都在二至四级之间，最常见的是三级火箭。

了解了这些基本原理，我们下一期就可以讲阿波罗计划的技术细节了。但在此之前，我们首先需要看清一个大图景的问题：化学火箭的潜力，已经接近挖掘殆尽！

许多人质疑登月的理由是：以50年前的科技水平，怎么可能登月？但实际上，我们看看火箭的这些原理，有哪些是50年前的人不知道的？他们都早就知道了。

箭体材料和推进剂的性能受到基本的化学和物理原理的限制，改进的余地不大。因此，我们会感觉50年前的火箭太强大了，其实是我们50年来的进展太小了。这就是我的朋友方承志博士大声疾呼的“技术大停滞”（技术大停滞——范式春梦中的地球工业文明（序） | 资水东流）！

很多人之所以觉得火箭技术应该迅速发展，是因为习惯了信息技术的突飞猛进。但实际上，信息技术是人类整个科技树上的一个异类，像火箭技术这种进步缓慢的才是常态。信息技术能够飞快进步，基本原因是信息不是实物，不像实物那样受物理规律的限制。简而言之就是：火箭不是手机！

因此，我们既应该向50年前的壮举致敬，也应该对现在人类的处境具有危机感。这并不是一个可以歌舞升平的时代，而是一个需要竭尽全力寻找新的能源动力基础突破的时代！

我们最需要的是什么，大家都知道吧？

回答是：可控核聚变！

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背景简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技术协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

责任编辑：项启瑞

致谢：感谢资深航天技术顾问王渤、航天科研工作者石豪在科学内容方面的指教。