计算出乎意料 | 和乐数学

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导读


每个人都身处两套评价体系，一套来自社会，一套来自内心。两者永远存在差异，但不可严重冲突或一家独大，否则就产生自恋、自欺、自卑、妒忌等等糟糕心态。奥数本该是奥妙数学的一部分，能感受奥妙就等于懂得了欣赏。
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作者 | 田廷彦
本文原发表于《中国数学会通讯》。

几年前的一天，我在一家书店里闲逛，碰巧遇到过去学奥数的学生 Q。当时他已读了大学，我问他是不是读数学系。顿时，他像触了电一样，眼睛里露出一丝畏惧，分不清摇头还是在快速抖动，一边说道：“呃，数学！再也不碰了……”这个世界上被数学吓到的人何止千万。其实也难怪，就说初等数学吧，那也是历史上的智者们琢磨几千年的知识体系，要一个现代人十多年就掌握，一定是不太容易的。何况我们平常在学校里学的数学只是海面上的冰山，奥数才是海底下的部分；大学数学和前沿数学研究的关系也差不多吧。畏惧数学的人，往往都是那些本来希望自己在数学上能够进步、可以完全听明白一些难题的解答过程却自己永远不大会做的人。也许，当一个人太晚发现自己不适合某件事的时候，想到已做了那么多的努力，多少会感到一些沮丧。然而事实上绝大多数人无论干什么事，无论多努力，都不可能达到顶尖水准。每个人都身处两套评价体系，一套来自社会，一套来自内心。两者永远存在差异，但不可严重冲突或一家独大，否则就产生自恋、自欺、自卑、妒忌等等糟糕心态（感到很多人处理不好两者的关系）。奥数本该是奥妙数学的一部分，能感受奥妙就等于懂得了欣赏。因此，奥数本身并没有错，错的是我们一旦用不正确的心态对待它。下面就举几个有趣的例子，多半是新的结果，虽未必称得上匪夷所思，也有点出乎意料。

1神奇数字 2184

“六亲不认”是一个有名的成语，形容不通人情，对亲属都不顾，有时也指对谁都不讲情面。一般含贬义。当然在生活中，这个词往往也具有夸张的意味。有一道有名的奥数题：任意连续 5 个正整数中，必有一个与其他 4 个都互质。开个玩笑说，这叫“四亲不认”。我们知道，定义两个正整数相隔“遥远”——如果从加法的角度看——只要看它们的差就可以了，差越大表明相隔越远；但从乘法的角度看，互质不妨是一个判定的标准。所以有了意大利粒子物理学博士保罗·乔尔达诺的《质数的孤独》。因为任意两个质数都一定是互质的，作者形象地用质数这一数学概念来形容两人孤独的状态，“有情人难成眷属”。2008 年该书一经出版，即获得意大利最高文学奖斯特雷加奖，畅销全球。“三亲不认”太简单了，不能当作奥数题；“四亲不认”就完全不同，需要做些讨论，不是很简单。进一步探究发现，“五亲不认”“六亲不认”等都是正确的，似乎“五亲不认”也确实被人采用作试题。于是，在一次数学会议上，有人提出了一个猜想：“对任意若干个连续正整数，必有一个与其他所有数都互质”，我把它称为“  亲不认”猜想。不难想象，随着  的上升，讨论的复杂程度也不断上升，因此，如果不引进新的想法，这问题做下去可没完没了。另一方面，我们也有点怀疑这个猜想的正确性，难道正整数果真如此“冷酷无情”吗？后来在某一天，我遇到了张浩（中国第一届 IMO 金牌得主，可惜 46 岁时英年早逝）。他告诉我说，在  等于十几（记得他好像说是 18）的时候，产生了反例，但反例究竟是什么，他没有细说，那天大家也有事，我没有追问。又过了若干年，我把这事给集训队的学生说了。不久之后，有人就找到了反例。这个反例是从 2184 开始的，一直到 2200，总共 17 项（也许张记错了）。也就是说，这连续 17 个数中，已经没有一个数与其他所有数都互质了，“16 亲不认”不成立。具体如下：

，，，，

（2185，2186，2187，2188，2190，2192，2193，2194，2195，2196，2198，2199 不必讨论，因为它们都是 2、3 或 5 的倍数），但是对于 2201 就不对了，因为 。这个例子似乎并不难找，因为只要把握住四五个数就可以了；但实际上是不太容易的，首先是个信心的问题：你怎么知道反例在  的时候会出现呢？德国著名数学家克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其余一切都是人为。”自然数确实奥妙无穷，有很多问题至今人们无法解决，普通人能够理解的最著名问题，莫过于哥德巴赫猜想和  问题了。克罗内克以不接受康托尔的集合论而出名，据说这也极大影响了康托尔：不仅使康托尔找不到好的工作，而且精神也出了严重状况。不过话也得说回来，如果“上帝创造了自然数，其余一切都是人为”是胡说八道，也就不会被当作一句名言流传至今了。最近在读《徐利治访谈录》。徐老说当初数学界为把 mathematics 翻译成“数学”还是“算学”而进行了大讨论，结果旗鼓相当（两者都蛮准确地把握了 mathematics 的特点，但意思却又不同），最终翻译成数学，有约定俗成的原因。但我认为，数学比算学更具“纯数学”的味道，告诉人们不要忘记纯粹数学之奥妙（尽管它要通过艰苦计算达到）。因此，在本节末再进一步追问：除了 17 个连续正整数，还有哪些数有反例，反例的数是否无限？

2算术-几何平均不等式

著名的算术-几何平均不等式，每一个学数学的人都知道。这个不等式不仅具有美观的特点，而且十分有用，因为它体现的是最基本的两种运算——加法和乘法——之间的关系，更确切地说，是加法对乘法的“限制”。它也是第一个均值不等式，而不等式理论的核心，就是均值不等式。记得国外一位著名科普作家说过，如果有个外星文明只发明了加减法，那么他们就不会提出费马大定理了（事实上，哥德巴赫猜想、 猜想也不会提出）。这说法极其有理，如果只有加减法，数学立刻就几乎没了难度，甚至根本就不能成为一门学问，而有了乘法（尤其是除法），数学就变得很困难，不仅是数论和代数，也和几何相关：面积、体积和维度，还有旋转（复数乘法），等等。只要想想初中整式加减（只要合并同类项）和因式分解之间的难度差异，就能明白这一点。在数论中，正是由于因子分解的极端困难，还可以用来编制密码；在混沌和动力系统等领域，乘除法也扮演了关键角色（比如小分母导致的对初始状态的敏感依赖性）。人们总是运用丰富想象力来研究这些运算之间的深刻关系。比如苏联著名物理学家 L.朗道看到哥德巴赫猜想时就惊呼：素数是用来相乘的，不是用来相加的！有意思的是，与他同时代的德国著名数学家 E.朗道（也译作兰道）是研究哥德巴赫猜想的权威。目前对加法和乘法关系最深刻的理解莫过于 abc 猜想，如果望月新一是正确的，那么他的成就将超过费马大定理的解决，但如果这个猜想深过哥德巴赫猜想，那么从理论上说，它似乎应该在哥德巴赫猜想之后得到解决。看来有必要将克罗内克的话做些补充：“上帝创造了自然数，其余一切都是人为；但若人类迟迟不创造四则运算，上帝也必定会告诉人类。”不等式也是如此。在整个初等代数领域，它甚至要难过因式分解，因为后者毕竟还是恒等变换，可以暴力搜索（比整式乘法这一机械过程是要麻烦），而不等式“非理性”多了，加减乘除（包括指数和根号）全都混在一起，复杂程度远超因式分解。 是  个非负实数，则 ，谁都知道，这就是（某种形式）的算术-几何平均不等式，有人偏要研究下面的加强问题：求最大的正数 ，使得恒有成立。容易知道， （此时的结果是平凡的，因为得到的是恒等式）。不易得到， ，这是我从一本书上看到的。如果你以为  具有简单的表达式，那就大错特错了！首先想知道的是  等于几？有一次在外吃饭时，点完菜后无事可干，就向服务员要张纸和一支笔——这种事我干过几次，觉得打发时间不亚于看手机。结果最终出来了，  似乎是 ，后来回家又仔细验了一下。这就比较出乎意料了，那么  呢？想必不会是什么简单结果。在同一本书里，有如下结果：真是“不算不知道，一算吓一跳”啊！这决非靠上菜前那点时间做得出来了，作者确实是采用计算机软件的帮助。接下去的问题显然是，对于一般的  求 。好吧，显然不会容易（估计是高次方程的根），不过能给出一个好的界也不错。关于算术-平均不等式，还有另一个耐人寻味的问题，这回跟正整数有关。这个世界一到“三”，就意味着复杂。最著名的就是三体问题、三维庞加莱猜想，生活中还有“三个女人一台戏”的说法呢。三个数列的排序不等式也是如此。设 ，，  都是  的排列，求  的最小值。如果只有两列，即  都是  的排列，求  的最小值，这个问题几乎没难度，根据排序不等式，这个值为但是，如果是三列呢？首先，比较容易想到的是，根据算术-几何平均不等式，有 ，问题的关键在于， 究竟是不是一个好的下界？（  时显然不是！）这似乎令人难以置信，因为算术-几何平均不等式对于正实数才比较精确，而对于正整数这种很大的限制，看来不太可能。然而奇迹还是发生了，至少对于 ， 都是极好的下界，误差不超过 2 甚至 1！比如  时，，而实际最小值是 162，我把这道题提供给国家队测试用。前国家队教练、复旦大学教授舒五昌发现了，研究了  的情况，此时 ，实际最小值是 930，接近的出乎意料！在小于 10 的情形，6 和 10 比较耐人寻味，其他情形一般都是[]+1，这就根本没难度了！如果  是一个好的下界，那么由斯特林公式，我们猜想：，这里 e 是自然对数的底，但是，不敢相信有这么好的结果——当然， 看来是存在的，如果这个结果成立，说明算术-几何平均不等式“极强”。无论如何，这是一个有趣而困难的问题。

3一个图形划分问题

再举个几何的例子。有一种完美正方形，曾经激起数学家们的兴趣。如果一个正方形能划分出大小不同的小正方形，就称其为完美正方形。数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于 1930 年苏联著名数学家鲁金猜想，完美正方形不存在。莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：通过完美矩形（相对容易）来构造完美正方形。1939 年，斯普拉格按莫伦的构想成功构造出一个 55 阶的完美正方形（即小正方形有 55 个），其边长为 4205。这样一来，全平面也可以划分成大小不同的正方形了。1978 年，杜伊维斯廷借助计算机技术，构造出一个 21 阶的完美正方形，边长为 112，它是唯一的（当然 112 的倍数不能算）。杜伊维斯廷同时还证明了：低于 21 阶的完美正方形不存在。这个例子很有名，此处就不详述。人们为什么对正方形特别感兴趣呢？原来，当  时，很容易证明，不可能把一个正  边形划分成若干小正  边形。但是在  时，这种划分无疑是有的，但都是些平凡的结果（比如按正三角形中位线划分，把正方形划分成“田”字等）。不过，有一个结果是不平凡的：不可能把一个正三角形划分成大小都不同的小正三角形。这个结论的证明是不太容易的（读者可以研究能否把全平面划分成大小不同的正三角形）。换句话说，只有完美正方形，没有完美正三角形！更匪夷所思的是，只要不是正三角形，任意三角形都可以划分成与之相似的、大小不同的三角形！即存在完美非正三角形！这是近年来国外的一道赛题。有趣的是，对于非正三角形，还要分情况讨论下。一般而言，只要分成 6 个小三角形就可以了，但是，与三边长分别为  或  相似的三角形，或许非要“大卸八块”才能做到。  究竟是什么数呢？我做了计算表明：呵呵，有意思吧？如果没有数学计算，谁能猜得到？数学的一大特点就是弥补了人们直觉上的不足，但数学也需要直觉。我觉得这是相辅相成的，具体说，是计算弥补了人类直觉的不足，而一个问题或理论的价值，则需要大师的直觉；美感更是与直觉联系在一起。计算的重要性一点也不容贬低，因为往往需要计算出新结果后，才能触发新的直觉。顺便一提，完美立方体是不存在的，即不可能把一个立方体划分成大小各不同的小立方体；但是完美立方体还有另一种定义，就是棱长、面对角线长、体对角线长都是正整数的立方体，可惜至今未能找到。这也是数论中一个小有名气的问题。我还想到另一个著名的平面铺砌问题，它使一位家庭主妇永载数学史册。马乔丽·赖斯于 2017 年 7 月 2 日去世，享年 94 岁。她只有中学学历。1975 年的一天，她看到儿子订阅的《科学美国人》，对马丁·加德纳的一篇文章产生了兴趣。这篇文章说的是五边形密铺平面的问题。所谓密铺平面，当然就是指一系列全等图形（不一定仅一种）将整个平面铺满，既无重叠，也无空隙。这类问题曾引起阿基米德、亚里士多德、开普勒、开尔文、希尔伯特、彭罗斯等大师的兴趣。而用同一种凸多边形密铺平面只是其中的一个问题。人们早就发现，任何三角形和四边形都可以密铺平面，但只有三种六边形可以密铺平面，而超过六条边的多边形，就不可以密铺平面了。剩下的就是五边形的问题。五边形的情形特别复杂（甚至康韦等大数学家都放弃了）。1918 年，莱因哈特发现了五种，按类别编号为 1，2，3，4，5。直到 1968 年，克什纳才发现了另外三种，编号为 6，7，8。1975 年，詹姆斯发现了一种，编号为 10。这时，赖斯在悄无声息地研究这个问题，1977 年，她一口气向数学界宣布了四种新的密铺方式，编号为 9，11，12，13，这对于数学界来说真是意外的惊喜！历史上，费马是著名的业余数学家。人们曾一度以为，在今天专业分工如此之细的世界，已不存在业余数学家了，所谓的业余数学家都是胡说八道的“民科”，虽然这种观点在绝大多数情况下都是对的，但赖斯的出现否定了这种观点，堪称数学界的超级“黑天鹅”现象。也许赖斯的发现太多、也太不易了，要想再有新的突破是难上加难。直到 1985 年，才由斯坦发现了第 14 种。而又过了整整 30 年，也就是到 2015 年，由华盛顿大学数学系副教授曼夫妇及学生冯·德劳组成的团队，利用计算机的力量才发现了第 15 种！

图 1 迄今发现的 15 种五边形密铺平面的方式

但人们还是没有办法证明只有 15 种，目前也没找出新的密铺方式。在奥数中有的题某人做不出很正常；但在数学中如果有一个难题大家都久攻不克，那就不是智力的原因，而是一个不断交流以等待时机成熟的问题（费马大定理即是一例）。这个看似简单的五边形密铺平面就是这样的问题。此外，还有更复杂的密铺空间问题。由此我也悟出一个道理：数学是个体与群体结合得非常好的事业（就像足球，没有别人妙传，何来临门一脚？），数学家社会为避免两种极端倾向做出表率——既没有那种完全扼杀个体的集体主义，也没有宣扬个性、自我膨胀到抹杀才能的程度。今天的世界依然没有摆脱狭隘的极端功利主义——那种拥有资源、权力、金钱的优越感。那将来呢？

4数学“四十二章经”撷趣

马丁·加德纳无疑是现代最伟大的数学科普大师，相信他漫长的一生一定过得非常充实、幸福。就在他在世时，第 2587 号小行星以他名字命名，这样的荣誉即使大数学家也很难得到，而且往往是死去以后，如高斯、祖冲之等。但是，数学的丰富毕竟远超马丁·加德纳科普的范围。她的发展可谓一日千里，科普工作也自然与时俱进。伊恩·斯图尔特是当代最杰出的数学科普作家之一。他有个本事，自己的任何两本科普书的内容都截然不同，所以可见数学的博大精深，像是永远推陈出新的、吃不完的自助大餐。中国的科普比较落后，多数只是抄袭，甚至抄出“费马大定理至今尚未解决”这种境界了。不过，也有少数优秀的科普作家，老一辈如谈祥柏先生，年轻的有顾森，还有蒋迅和王淑红老师。顾森的特点主要是文字功底，让读者欲罢不能；而蒋迅和王淑红的作品《数学都知道》（三册）则是内容五花八门，与时俱进，像我这种数学科普的老“吃货”也觉耳目一新，闻所未闻，非常值得每位数学爱好者收藏。佛教里有本著名的《四十二章经》，《数学都知道》也有足足 42 章，近 800 页！蒋老师有自己的数学博客，不断报道数学里最新鲜的事。霍金在《时间简史》序言中有一句著名的话：据说每添加一个公式就要吓跑一半读者。他说希望自己的书里仅有的爱因斯坦质能公式不要吓跑那一半潜在的读者。这是霍金式的幽默。其实，一个数理科学爱好者是绝不会被公式吓跑的，反而会觉得公式很有趣，常常更为清晰地表达出来。当然通篇公式肯定也不行。《数学都知道》里有一些公式，安排得可谓恰到好处。让我们试举一例来欣赏一下。数学中有一种 golygon（书中译作高立多边形），是塞洛斯创造的。它是一个平面  边形，可以是凹的，但不能自相交，且放在平面直角坐标系中是一个格点多边形（即每个顶点是格点）。每条边都平行或垂直于坐标轴，长度是  的一个排列。容易证明  是 8 的倍数。那么，这种  边高立多边形一共有多少个呢？比我们想象的惊人得多，比如当  =32 的时候，总共有 510696155882492 个！此处的图选自《数学都知道》第二册。

图 2 一个高立 32 边形

塞洛斯和瓦迪等人得到一个渐进公式： 边高立多边形的数量级为 。注意这里竟然出现了 ！谁说数学中没有魔术？说到大家熟悉的 ，《数学都知道》也专门有提到， 是个永远说不完的话题，永远有新鲜的内容。书中提到了拉马努金关于  的著名级数，其实关于  的公式多的不计其数，有几个大家不大见到的书中也提到了，比如较新的贝利-波尔温-普劳夫公式等。关于数学是天然的还是创造的，引发了数学究竟是发现还是发明的争论，似乎可以得出这样的结论：数学确实是人脑的产物，但不是随意的产物——它跟具体哪个脑袋无关，因此数学兼有发现和发明的特点。数学和科学本身只是在陈述事实，无关价值，但人们的选择必定出于价值（美感至少是一个因素）。有个说法非常贴切：研究数学是为了人类心智的荣耀，而不是个人智力的证明和比拼（后一句话是我添上去的）。数学确实很奇怪：别的自然科学是面临问题需要解决，比如原子的结构，意识是什么，如何攻克顽疾等，医学不大会自己找事干，制造两个新病毒玩玩（除了恐怖分子！），但数学完全不同，没有数学家“吃饱饭”找个问题玩（比如费马大定理、哥德巴赫猜想），数学就不会长成参天大树。当然，数学中数不清的有趣结果，并非都具有重大理论意义；而具有重大意义的数学，一定是优美的、奇趣的数学的一个真子集。我们要为每一个这样的发现而庆贺，只要能为这个世界增加一点点美。现在人们还集中于感官上的美，不太能接受精神上的、理性上的美。即使有少数人在呼吁，理想却难以实现。现在新的希望来了，人工智能技术 AI 只要不失控，就一定能带给人类极大的好处——让人们从一些枯燥繁重的工作中解放出来，从工作中可能出现无聊的矛盾中解脱出来，转而去思考数学、艺术或哲学问题，使人们的精神得到充实，从“目的论者”渐渐变为“过程论者”，从而找到生活更高的意义。AI 有可能真正实现人类的“终身学习”“书香社会”。就人类的发展规律看，从来都不是一步一步匀速前进的，而是积聚一段时间之后，突然就能实现。

5拥抱理念世界

一年到头忙忙碌碌，最近有点空了，突然想到在网上看了几遍《知无涯者》。电影拍的还是挺感人的。哈代扮演者艾恩斯还是奥斯卡影帝；拉马努金的扮演者帕特尔也不错，虽历经坎坷，眼神里从未失去坚定和自信——或许因为历史使命感吧。年轻的数学直觉天才最终得到认可，却又英年早逝。怪不得扎克伯格等硅谷大佬看了这部电影，热红了眼眶。我给学生上奥数课。每个学期结束，通常都会在黑板上写下拉马努金计算  不可思议的公式（现在添加一个任务，就是建议学生去看那部电影），看到一些很大的自然数通过无穷级数能组合出 ，教室里总是突然变得异样安静，即使是几个比较牛、爱显摆的学生也流露出惊讶的眼神，有人甚至用手机拍下来，也有极个别人早知道它。

图 3 电影《知无涯者》海报

拉马努金公式当然比前面提到的高级得多（谢天谢地，几十年过去了，我还能记得住它！），但是从欣赏的层面上说却是类似的。可惜的是，Q 同学在过度竞争的环境下，尽管顺利进入大学，没有遭遇惨败，但也影响到心态，从而远离数学。数学在他眼里不是艺术，而是面目有点可憎的东西。这样的学生想必为数不少。最近，迄今唯一获得菲尔兹奖的伊朗裔女数学家米尔扎哈尼因病去世，年仅四十岁，她说过一句话实在是意味深长：我不认为每个人都应该成为数学家，但我相信很多人不曾给数学一个真正的机会。换句话说，不是每个人都能成为职业数学家，但数学思维之美，应该为大家所欣赏。很多大师都认为，数学不仅代表真理，而且具有至高无上的美。我们完全可以像欣赏画作、音乐一样地欣赏数学，而不是非得成为大师。任何一件艺术品不仅需要创造者，也需要欣赏者。创造者一定也是欣赏者，欣赏者却未必是创造者。米尔扎哈尼早逝固然让人有天妒奇才之叹，但更可惜的是数学易被曲解，创造者的集合与欣赏者的集合竟然差不多大。有一本《天文爱好者》杂志，有几万的销量，说明对天文有兴趣的人不少，但从事天文研究的人少之又少。数学中没有那些美丽星空的图片，数学的普及更难。我读小学的时候，曾把《十万个为什么》天文和动物两分册带到学校去，向同学们炫耀一下，直到读初中时看到书店里摆着全套《十万个为什么》时，才惊讶居然还有一册是关于数学的。对于数学有多难有多美，我是略知一二的，数学之美决不亚于天文，但如果数学不能从独乐乐转变为众乐乐，数学家本想跟世界说很多话，最终却归于沉默，这的确是很大的遗憾。对于错过数学的人，我认为还存在这样一种可能：多数人对于体能超过自己的人不会太介意，但对于智力超过自己的人就可能会不爽。因此才有《三国演义》里周瑜被诸葛亮气死，而武将之间不存在这样的事。人们崇拜英雄超过天才，而英雄多半是孔武有力的，如武将、侠客、运动员。尽管绝大多数人不可能成为科学大师，跟不可能成为优秀运动员是一样的；但人们喜爱优秀运动员，体育具有观赏性是主要原因，此外，人们可以用“头脑简单，四肢发达”来安慰自己。这也可以解释汽车的发明没有带来任何疑义——除了黄包车夫下岗了，人们丝毫不因为汽车跑的比人快得多而减低对径赛的魅力和热情；但当阿尔法狗战胜人类的时候，很多国手有点崩溃，不是围棋本身要完结，而是他们再也不能像过去那样傲娇了，哪怕他们比过去几位大名鼎鼎的超一流选手还要强。在生活中，还常可以发现这样的现象：如果某人声称自己懂得老庄易佛禅之类的东西，哪怕他并不怎么懂，也可以瞎吹一通，真正的专家又不屑与之辩论，久而久之他就觉得自己真懂，这些人互相之间还不买账。但是一到科学尤其是数学，很多人就原形毕露了，他们不敢宣称自己真懂（除了脑子有点病的民科），于是就只能抛出“数学无用”“搞数学的是傻瓜”之类的恨话。为何人类如此自欺？对此我一直有点好奇。正如“科学技术是把双刃剑”，其实数学也是双刃剑。数学使得人们不那么容易自欺，这既是好事，也是坏事——因为自欺就像是某种精神上的安慰剂，尽管有毒但时常又依赖它；而数学又似乎是清醒剂，很多人并不喜欢，还不如文科，让人活在自以为是的世界里，多好啊。人类具有比一般动物发达得多的大脑，是迄今唯一具有无限欲望的动物，但人类也是唯一迷信和自欺的动物。罗素十分感叹地说道，绝大多数人究其一生只生活在这种感性状态里，不愿意进行一点理性思考。他们未必没有这种智力，但是缺乏耐心和兴趣。也许在遥远的未来人们还有信仰，但迷信和自欺是一定要消除的东西。导致迷信和自欺的原因，说来也简单，就是某人不能或不愿意正确地认识自己和外部世界（而宗教信仰应该是出于全人类面对宇宙和生命的终极的未知）。再深究下去，迷信和自欺是社会普遍现象。社会现象比如存在不平等，使人总是感到压力，体现在教育上也是一样的：教育资源的不均衡，导致了过度竞争和填鸭式教育，这是很多人远离数学的重要因素，这种竞争无力改变这样一个结局：想让别人膜拜一个人的智商，非得 IMO 金牌级别，竞争反而可能吓跑很多尚有潜质的数学爱好者；而一个人的情商只要处于中等水平，就可以活的比较滋润。社会现象的根源我觉得是人性和进化问题，这比较复杂，本文不可能深究了。对数学敬而远之的原因之一，也是不愿看到在智力比拼中落败，看到自己与某某某相比一无是处——这是大多数人的结局（比如 Q 同学），但这绝非不能改变，让大家或多或少欣赏一些数学是完全可能的。过去多数人热衷权力和金钱，现在不少人被拉到个性和娱乐中去了，其进步是妒忌心理弱化了，但人们忽略才华和品位是不对的。我很感激世上有真正伟大天才的出现，其实接受自己的渺小又何尝不比自我欺骗更为心安呢。愿生命不息，感动常在。扩展阅读：

背景简介：文章于2019年12月7日发表于微信公众号 和乐数学（计算出乎意料），风云之声获授权转载。

责任编辑：陈昕悦