冯卡门也犯错？大桥振动和卡门涡街到底什么关系？ | 气动弹性力学与流动控制

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首先介绍了卡门涡街、涡激振动和颤振的概念。在此基础上，讲述历史上塔科马大桥风毁事件的研究争论，并再次澄清塔科马大桥风毁的原因是颤振而不是涡激共振，故与卡门涡街无关。最后，对虎门大桥振动问题，针对风工程领域中涡激振动问题的性质进行了讨论，指出限幅涡振问题，并伴随的锁频现象，本质上仍是结构自激振动问题，卡门涡街起到的是诱发而不是直接的推动作用。注：风云之声内容可以通过语音播放啦！读者们可下载讯飞有声APP，听公众号，查找“风云之声”，即可在线收听~

冯卡门也犯错？大桥振动和卡门涡街到底什么关系？

张伟伟 李新涛 豆子皓 高传强 / 西北工业大学

摘  要：首先介绍了卡门涡街、涡激振动和颤振的概念。在此基础上，讲述历史上塔科马大桥风毁事件的研究争论，并再次澄清塔科马大桥风毁的原因是颤振而不是涡激共振，故与卡门涡街无关。最后，对虎门大桥振动问题，针对风工程领域中涡激振动问题的性质进行了讨论，指出限幅涡振问题，并伴随的锁频现象，本质上仍是结构自激振动问题，卡门涡街起到的是诱发而不是直接的推动作用。

作者简介：

张伟伟

目前主要从事三个方向的研究：（1）气动弹性力学（2）智能流体力学（3）理论与计算流体力学。主持国家自然基金5项，863项目3项，重大专项2项，其他省部级项目10余项。完成航空、航天、兵器等单位型号及预研项目20余项，解决了多个关键技术难题。

1979年8月，工学博士，西北工业大学教授。现任西北工业大学航空学院副院长，流体力学智能化研究所所长。获得省部级科技奖5项，授权发明专利7项，撰写著作1本。在国内外刊物和学术会议发表论文100余篇。现任中国空气动力学会理事，陕西省力学学会理事，Aerospace Science and Technology期刊副编辑，航空学报，空气动力学报，实验流体力学，气体物理，航空工程进展等期刊的青年编委。

近日，虎门大桥的振动引起了学术界和网友们的广泛关注和讨论。很多土木工程领域的学者第一时间指出这应该是大跨度桥梁较常见的涡振，对桥梁的破坏并不剧烈。然而不少自媒体进一步引申出1940年塔科马大桥的倒塌事件来说明涡振的剧烈程度和破坏性。再简单搜索共振，卡门涡街和塔科马大桥，都能在词条中看到“卡门涡街或共振是塔科马大桥倒塌的原因”等描述。甚至在初高中的课堂上，塔科马大桥风毁事件都作为共振与卡门涡街的典型案例进行讲述。这引发了笔者撰写本文的驱动力，有必要从气动弹性力学者的角度解释几个不同的气动弹性力学概念。
卡门涡街，涡激振动和颤振
首先简单介绍一下这几个名词的概念：
卡门涡街：在一定条件下的定常来流绕过钝型物体时，物体两侧会周期性地交替脱落出旋转方向相反、并排列成有规则的双列线涡，如图1所示。由于冯∙卡门（美国航天之父，钱学森的导师）最先研究该现象，故被命名为卡门涡街。

图1 从空中俯瞰云团流过岛屿形成的与数值模拟的卡门涡街

涡激振动：由于漩涡的交替脱落，产生脉动载荷，当其与结构固有频率接近时，会导致结构在外载荷作用下出现共振，即所谓的涡激共振，土木工程领域称之为涡振。如图2所示。

图2 圆柱的涡激振动模型与动画

颤振（flutter）：由于弹性结构从气流中吸收能量，导致的结构振动发散。用专业语言来阐述，颤振是一种自激振动，是结构在气流中因为流固耦合产生的负阻尼运动现象。图3给出了两种飞行器发生颤振的动图。颤振在不同工程问题中有不同的表现形式，如常见的模态间耦合颤振，跨声速嗡鸣，失速颤振，叶轮机叶片的行波颤振，等等，有些物理机制十分复杂，仍有待深入研究。在统一的理论架构下，由于流固耦合导致的结构模态的失稳现象，都可称为颤振。

（a）无人机发生颤振解体（b）滑翔机发生非线性颤振

图3 颤振现象

Tacoma大桥风毁事件始末

80年以前的1940年11月7日，人们如往常一样驾驶汽车行驶在美国华盛顿州新建成的Tacoma悬索桥上。虽然桥面有略微振动，但人们对此早已习惯，因为自1940年7月1日开通运营以来，即使微风轻拂，桥梁的振动也经常发生，人们还给Tacoma大桥起了一个好听的外号“跳舞的桥”。但那天的风更大了一些，达到了19m/s。在这样的大风中，桥梁振动的幅度越来越大，人们惊慌地逃离桥面，在桥梁经受70min的剧烈振动后最终垮塌，振动中最大的扭角振幅约为±35°。所幸，因为持续振动时间较长，这次事故无一人死亡。并且好莱坞电影团队由于正巧在桥梁附近拍摄，塔科玛大桥抢了主角的戏，他们将大桥振动到倒塌的全过程都记录了下来，这给后来的研究者提供了巨大帮助，如动图4所示。

图4  Tacoma大桥扭转振动并坍塌

塔科马桥垮塌后，由美国国家公路交通安全管理局及华盛顿州收费桥梁当局联合发起了大规模的气动调查研究。其中由冯∙卡门在加州理工学院进行相关风洞试验，并提出了桥梁风毁的原因是卡门涡街导致的涡激共振[1]。
的确，绕钝体产生的卡门涡街是一种流体力学的美。很多学者认为塔科马大桥的倒塌是由于涡激共振所致，恰恰是由于冯∙卡门主导了当年的事故分析，而且得出了让人比较容易理解的观点：涡激共振！这个观点是按如下的推理形成的：“视频中可见大桥在风的作用下以其扭转固有频率发生振动，并最终导致破坏，这是由于风流过大桥断面形成卡门涡街，在漩涡交替脱落产生的外激载荷作用下，结构发生振动响应，并且恰好由于漩涡脱落频率结构固有频率一致，导致共振发生。”其公式表达如下，等式左端为结构运动的位移，速度和加速度项，等式右端为外激力。
（1）
共振的解释直观明了，让高中生都能理解，貌似天衣无缝。但是这个观点存在着一个致命的局限，默认了这种振动是常规的外激强迫振动，并且想当然认为风流过固定结构时的漩涡脱落频率接近于结构固有频率。

图5 教科书中将卡门涡街作为Tacoma扭转振动的解释

实际上大桥倒塌后，就一直有两种观点存在，其中航空工程师认为它是和机翼颤振类似的现象。然而，经典的机翼颤振，流动通常是附体的，不涉及漩涡脱落问题。再加上冯∙卡门的显著个人影响力，涡激共振占据了主导地位，他的观点也在上世纪50年代到90年代进入美国高中物理课本，作为共振的典型案例进行教学，如图5所示[2]。不少有影响力的工程专用教科书中都记载着：“可以确信，卡门涡街是大桥损毁的原因”等类似的表述[3]。
然而，后来的土木工程师希望在风洞中复现塔科马大桥的涡激共振时才发现，大桥刚硬断面的绕流涡脱频率约为1Hz，并不等于其固有扭转频率（0.2Hz），相差很大！并且，若设计出脱涡频率与结构固有频率相同的模型进行数值模拟，涡激振动的幅值只有0.5度，远远不会使桥梁发生破坏！Scanlan教授与其指导的本科生Billah详细地总结了前人的实验[4,5]，分析得出塔科马大桥的倒塌是因为颤振，是一种气动负阻尼效应所致，很好的诠释了该工程事故。在上世纪90年代后的物理教科书因此重新进行了修正，澄清了大桥的倒塌原因，成为土木工程领域的一个经典案例[4,5]。
单自由度颤振运动的数学表述如公式2所示，等式左端不变，但等式右端的附加气动力变成了结构位移及速度的函数。当然，这种表达是一种简化模型，但我们也能看出，当结构不运动时，右端的气动力也将等于零。颤振触发时，结构自身的运动产生附加气动力，这又进一步致使结构运动，如此循环，并可能导致振幅加剧。所以颤振的本质是自激振动，数学上的表达是带有稳定性参数（通常选用速度或动压）的齐次方程。

（2）

自上世纪90年代至今，Tacoma大桥风毁的原因已经逐渐被学术界与工程界认识清晰。简单来说，这是遭遇某一临界风速，大桥结构模态的总阻尼由正变负，导致的结构失稳，是一种典型颤振现象。
在Dowell教授（美国工程院院士，现代气动弹性力学奠基人）2013的著作A Modern Course in Aeroelasticity中写到：“Scanlan教授指出，一些物理教科书将塔科马大桥的倒塌归结为涡激共振，这一观点是错误的，实质上是塔科马大桥是由于颤振倒塌，这是两个截然不同的现象。”[6] 

图6 Dowell教授专著中对Scanlan教授颤振解释的肯定

虎门大桥的振动

我们再回到虎门大桥的振动现象，其表现为桥面的上下波动。对应截面的沉浮运动。虽然振幅不小，但尚不造成结构破坏。土木工程研究者普遍认为，这是卡门涡街的脱涡频率与桥梁弯曲模态固有频率接近导致的涡激共振（涡振）。经典的教科书[7]中指出涡激共振是一种带有自激性的强迫振动，是低速下常见的有限振幅振动，并且在一个相当大的风速范围内，可保持振动频率不变，产生一种“频率锁定”现象(lock-in，简称锁频)。显然，这一定义含糊了涡振的是自激还是强迫振动的属性，但指出了涡振的一个重要特性，即锁频。
什么叫做锁频现象呢？简单来说，随着风速的提高，涡脱频率也会提高，在不发生锁频时，结构的振动频率跟随脱涡频率，但是发生锁频后，结构振动频率不再跟随原有的脱涡频率，而是锁定于其固有频率，并且锁频时的运动振幅远大于非锁定状态的振幅。因此，搞清楚锁频的机制是认识涡振问题的核心！不少学者用非线性共振对频率锁定进行解释，然而共振观解释频率锁定存在以下困惑：

1）很多问题中的频率锁定范围会远远偏离共振的频率比范畴（0.85-1.15），频率比甚至超过1:2；

2）很多时候的最大振幅并不是在共振点处取得；

3）非线性共振的机制是什么？什么机制促使结构响应频率不跟随外激励力频率？

图7 Re=60圆柱涡致振动现象示意图：

（a）振动幅值；（b）振动频率

下面我们以圆柱为例，展示涡振中的锁频现象。图7给出了圆柱涡致振动结构振幅和振动频率随无量纲风速的变化曲线。从图7（b）可以看出在非锁频区域，振动频域等于脱涡频率，而在锁频区域（阴影区），振动频率与结构固有频率保持一致。从图7（a）可以看出，在锁频区域内结构振幅较大，而在非锁频区域，振幅很小，几乎可以忽略。
图7（a）还给出了解耦方法（黑线）计算得到的振幅。所谓解耦方法，即事先获取固定结构绕流的气流脉动载荷，然后再计算载荷作用下的弹性结构响应。解耦方法给出了一个清晰的共振峰，且振幅和发生锁频的范围均显著小于耦合方法。这一结果说明采用解耦的强迫振动的思路来分析涡致振动问题已不再适用，流体和结构的耦合效应起到主导作用。从上述结果可以看出，涡致振动响应振幅在共振风速（U*=7.5）两侧并不是对称分布，最大振幅也不是在共振风速处取得，而是在起始风速（U*=6.0）处取得。
这一结果不得不让我们去进一步思考定义含糊的涡激共振，到底是自激振动还是强迫振动问题？近期我们的研究表明，涡振以及航空工程中的跨声速抖振锁频都是分离流中的自激振动，可以理解为单自由度颤振，结构的大幅振动本质上是流动的反馈作用形成的负阻尼效应[8,9]。图8给出了我们通过线性稳定性分析得到的圆柱涡振的根轨迹。图中可见，系统存在两个相互独立的模态分支，即结构模态（SM）和流动模态（WM）。流动模态始终是不稳定的，而结构模态在与流动模态耦合的耦合过程中也在一定的区间发生了失稳。这种由分离流动诱发的结构模态失稳是导致锁频以及结构大幅振动的根本原因。该视角很好地解释了锁频现象，以及结构最大振幅不在共振点处取得等用共振很难解释的一些现象。

图8 线性稳定性分析得到的耦合系统根轨迹

上述研究对象虽然不是塔科马大桥断面，而是用弹性支撑的圆柱，这是因为圆柱绕流是最经典的卡门涡街算例，是钝体绕流激振中的经典力学模型。这一观点近年得到流固耦合力学领域很多学者的认同，但笔者估计要得到土木工程领域学者的认同，还需一段时间。
为了进一步说明涡振问题很大程度上不是一个共振响应，我们通过降低Re，消除卡门涡街和外激载荷。例如Re=40时，固定圆柱的绕流未失稳，并不会出现卡门涡街，没有脉动载荷（图9）。然而，当释放结构沉浮刚度后，由于流固耦合效应，会发生单自由度振荡失稳，图10所示。这种亚临下的圆柱绕流单自由度颤振最低Re出现在18[10]。通过稳定性分析发现，虽然此时流动模态是稳定的，但是结构模态在与流动模态的耦合作用下，结构模态在一定区间发生失稳，导致出现单自由度颤振现象，如图11所示。并且其随风速变化的锁频特性与Re=60状态的涡振锁频特性极其相似，如图12所示。因此，进一步证明了涡振本质上也是一种单自由度颤振，是流动模态和结构模态耦合触发结构失稳的现象。这一现象不得不让我们去思考，钝体的大幅振动到底和卡门涡街之间是什么一个关系。
实际上我们并不否定流动动态分离触发结构大幅振动，但我们认为用交替漩涡推动结构共振来解释，就本末倒置了。旋涡并不是结构大幅运动的直接推手，对于结构她更像一个旺夫的爱人，她的出现，使得结构模态激情澎湃，蒸蒸日上。

图9 Re=40的定常绕流图 

图10 Re=40，沉浮刚度释放后的涡激振动动画

图11 亚临界雷诺数(Re=33)下耦合系统的根轨迹

图12 亚临界雷诺数(Re=33)下的涡致振动振幅和频率随风速的变化

颤振、涡振以及其它流致振动问题

既然上文指出颤振和涡振都是结构在流体中的失稳问题，接下来我们再讨论一下两者之间的差异。
经典颤振通常是流体作用下，两个及以上结构模态之间的耦合，导致一个模态失稳的自激振动，这也是附体流动中常见的失稳模式，航空工程中机翼弯扭耦合就是这个模式。在弱稳定流动下，如跨声速、大迎角状态或钝体绕流中，流动模态会成为一个耦合的主角，与结构模态耦合触发结构的单自由度颤振。跨声速嗡鸣、大迎角失速颤振以及亚临界Re的振动都是可以归结为单自由度非经典颤振。土木工程中的桥梁断面颤振通常以扭转模态为主，由于扭转模态的附加气动力大，且结构非线性弱，故颤振更容易造成结构破坏。另外，由于颤振的危害性，人们非常关注颤振出现的最低边界，必须保证结构运行工况在颤振速度之下。
涡振是指流动绕过钝体，流动自身已经失稳，流动模态和结构模态的耦合进一步触发结构模态失稳，实质上存在两个模态的竞争问题。在涡振中，通常是结构模态占据主导，出现锁频。而在驰振问题中，两个失稳模态频率（流体和结构）差得较远，是共存的[11]。对于桥梁涡振问题，对应断面的沉浮运动，三维视角表现为波动。沉浮运动不仅附加的气动力较弱，而且由于结构刚度的硬立方非线性效应，很容易维持限幅振动，不容易发生发散破坏。由于涡振不具备颤振那样的破坏性，而且发生速度较低，会存在进入和退出两个风速边界，结构共振频率对应的风速通常在两个边界之间。
不限于上面的两个气动弹性问题，笔者的研究体会是风工程中的颤振、涡振、驰振，以及航空工程中的颤振、抖振锁频，跨声速嗡鸣、失速颤振、发动机叶片的颤振，虽然发生的状态和表象有很大差异，但根本的诱发机制有很大的共性，特别是各种单自由度失稳问题，其中的亚稳定或不稳的流动模态起到了核心的作用，关于跨声速的问题，感兴趣的可以参阅作者近期的综述论文[12]。
分离流动中形形色色的流致振动问题，简单地用解耦的思路和共振的观点来解释结构大幅振动是高中物理过分强化了共振概念。实际上很多危害性的流致振动问题恰恰是自激振动。对于附体流动中的经典颤振问题，理解自激振动是理所当然的，因为结构不动情况下外激载荷就消失了。但是像分离流中流致振动，如涡振、跨声速/大迎角抖振锁频、驰振等诸多问题，结构不动，由于固有的流动动态分离，脉动载荷是一直存在的，这就很容易让人去用解耦的共振思路去理解结构振动。实际上，当流动处于失稳或亚稳定状态，当结构模态和流动模态频率接近时（并不需要向共振那样重合），很容易触发结构模态失稳，并主导整个流固耦合动力学响应，并伴随响应频率锁定于固有频率现象。至于在什么流动和结构状态下发生，以及如何减缓或抑制相关振动，则是流固耦合力学领域学者们需要长期攻关的问题。

结 论

Tacoma风毁的机理已基本认识清楚，是扭转模态为主的颤振导致的结构失稳，而不是卡门涡街激励的共振。本文的目的是再次澄清一下，当年冯卡门大师甩的锅，不能再让卡门涡街背锅了。
虎门大桥出现的波浪型弯曲振动，按风工程领域的定义属于涡激振动，很多学者用涡激共振理解，笔者最新的研究认为涡激共振并伴随锁频的本质上仍是结构单自由度失稳，卡门涡街诱发了结构失稳，而不是直接推动结构共振。
由于流固耦合力学面对航空航天、土木、风工程、能源等多个行业，各行业面临的对象、问题的定义以及分析的模型都存在较大差异，导致不同行业的学者之间交流会存在分歧。因此，未来有必要加强跨行业的交流和合作，更好地解决重大工程面临的相关问题。
结束语
特别感谢北航张华教授的鼓励，才有笔者科普论文的处女作。为了赶这个热点，三个晚上临时赶制，再加上笔者并不是专业从事桥梁风工程领域的研究，不当之处请大家批评指正。

参考文献

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[2]Larsen, Allan. Aerodynamics of the Tacoma Narrows Bridge - 60 Years Later[J]. Structural Engineering International, 2000, 10(4):243-248.

[3]Beckett. D. Great Buildings of the World-BRIDGES[M]. Paul Hamlyn. London. 1969.

[4]Scanlan R, Tomko JJ. Airfoil and bridge deck flutter derivatives[j]. J. Eng. Mech. 1997, 97:1717-1737

[5]Billah KY, Scanlan RH. Resonance, Tacoma Narrows Bridge failure, and undergraduate physics textbooks[J].  American Journal of Physics, 1991, 59(2):118-124.

[6]Dowell E H, Robert C，Et al. A Modern Course in Aeroelasticity[M]. Kluwer Academic Publisher, 2005, P306&P330. （杨智春等译，2013，航空工业出版社）

[7]陈政清. 桥梁风工程(高等学校教材)[M]. 人民交通出版社, 2005.

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[9]Gao C, Zhang W, Li X, et al. Mechanism of frequency lock-in in transonic buffeting flow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 818: 528-561.

[10]Kou J, Zhang W, Liu Y, et al. The lowest Reynolds number of vortex-induced vibrations[J]. Physics of Fluids, 2017, 29(4): 041701

[11]Li XT, Lyu Z, Kou JQ, etc. Mode competition in galloping of a square cylinder at low Reynolds number[J].Journal of Fluid Mechanics, 2019, 867: 516-555.

[12]Gao C, Zhang W. Transonic aeroelasticity: A new perspective from the fluid mode[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2020,113, 100596.

扩展阅读：

背景简介：文章于2020年5月8日发表于微信公众号 气动弹性力学与流动控制（冯卡门也犯错？大桥振动和卡门涡街到底什么关系？），风云之声获授权转载。

责任编辑：杨娜