突破研究范式，证明费马大定理｜沙国祥

导言：

对于非常规数学难题的求解，研究范式的改变，往往起到化难为易、别开生面的效果；如果一味在原有范式里埋头苦干，可能会劳而无功或无本质性进展。反过来，这类问题的探究求解，有时也促进了新范式的建立。

文｜ 沙国祥

1994年，是世界数学史上光辉的一页—— 著名的费马大定理（也称费马猜想），在提出350年后终于被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明，完整的证明最终发表于1995年5月的《数学年刊》杂志上。在“征服” 费马大定理的漫漫征程中，数学家们披荆斩棘，百折不挠，留下了许多动人的佳话，也积淀了大量珍贵的数学遗产，值得我们回味、深思。从这段历史长河中探寻与费马大定理证明相关的数学研究范式，揭示研究范式的变革对解决费马大定理这个“超级数学难题”的决定性影响，有助于我们理解费马大定理证明及其他一些数学难题求解的思想方法，也有助于更好地理解数学的发展史。

安德鲁·怀尔斯

一、 漫漫征程中的关键节点：三次重大突破

1637年，法国数学家费马在他的一本书的某页空白处，写下了这个流芳百世的定理，用现代数学语言可写成：“对于任何大于2的整数n， 方程xⁿ +yⁿ =zⁿ 没有正整数解。”同时他还写了一个旁注：“我发现了一个真正奇妙的证明，但书上的空白太小，写不下。”但证明这个定理足足花费了数学家350年时间！所以现在人们倾向于认为费马弄错了。

纪录片《Horizon: Fermat's Last Theorem》 (1996)

费马本人用“无穷递降法”证明了n=4时，他的猜想是正确的；

1770年，瑞士大数学家欧拉用费马的“无穷递降法”，证明了n=3时，费马大定理成立；

1825年，法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷各自独立地证明了n=5的情形；

1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形；稍后，法国数学家勒贝格对此情形给出了另一个巧妙的证明；

以上证明都是“单打一”，其中没有一种证明的方法具有普遍性，或至少成批地证明费马大定理的某些情形。

值得一提的是，19世纪初，法国女数学家热尔曼证明了一个定理：“如果p是奇素数且2p+1也是奇素数，则x^p +y^p =z^p 不存在正整数解使得xyz不被p整除。”虽然这个定理没有断言x^p +y^p =z^p 没有正整数解，但毕竟指出了在某类情形下，x^p +y^p =z^p有正整数解应满足苛刻的条件。更难得的是，这是第一个关于费马大定理作出的一般性断言。

直到1847年，费马大定理的证明有了第一次重大突破^[1]121。德国数学家库默尔研究费马大定理时，发现拉梅等人默认了对某类“分圆整数”，不加证明地使用了对于一般整数成立的“素因子唯一分解定理”，导致他们在一般情形的费马大定理的证明中存在致命的错误。对此我们稍作解释：

所有整数构成一个对加减乘法三种运算封闭即运算结果仍在其中的环Z，也称整数环；所有形如a+bi (其中a，b为整数,i为虚数单位)的复整数也构成了一个环Z[i]，称为“高斯整数环”。类似地，所有形如a + b√(-5 )(其中a，b为整数）的数构成了一个环Z[√(-5 )]。整数环Z、高斯整数环Z[i]中“素因子唯一分解定理”均成立，但环Z[√(-5 )]中这一定理并不正确，如6 = 2×3 = (1+√(-5 )(1－√(-5 )，就是Z[√(-5 )]中两种不同的素因子分解式！^[1]157

上述所谓“分圆整数”，是由形如a+bζ_p（其中a，b为整数，ζ_p= e^(2πi/p)对应于复平面上单位圆的一个p等分点）的数进行加减乘运算得到的数，它们构成了环Z[ζ_p]，其中各元素的一般形式为a₀+a₁ζ_p+a₂ζ²_p+...+  a_p－1ζ^p－1_p （这里各系数a_i均为整数）。库默尔指出，对于某些环Z[ζ_p]，如Z[ζ₂₃]，“素因子唯一分解定理”不正确。

解方程x^p +y^p =z^p时，移项得

y^p = z^p－x^p =（z－x）(z－ζ_px )( z－ζ²_px)...（z－ζ^p－1_px)，

由整数环中的“素因子唯一分解定理”，可推出：若y^p =stu...z，且s，t，u，...，z两两互素，则s，t，u，...，z必分别等于某个整数的p次幂。拉梅等人把分圆整数与通常的整数进行简单类比，认为（z－x）(z－ζ_px)(z－ζ²_px)...（z－ζ^p－1_px) 中各因式也分别等于某个分圆整数的整数幂，由此推出矛盾，从而证明费马大定理。但某些环Z[ζ_p]中“素因子唯一分解定理”不正确，故拉梅等人的证明有误。

库默尔深入研究了所谓“分圆域”，并宣布已经用统一的方法一举证明了在p为不超过19的奇素数时，费马大定理成立。此后，库默尔还进一步证明了当p为小于100的奇素数（除了p =37，59，67）或p为任意“正则素数”时，费马大定理均成立。

1926年，美国数学家范迪威尔证明了对于非正则素数p，在p<157时，费马大定理成立。

1929年，范迪威尔找到一个判据，刻画了使费马大定理成立的非正则素数p应满足的条件。

此后，利用这类判据，再结合计算机，到1954年，费马大定理已推进至p<2003时成立;

到1977年，更推进至p<125 000。^[1]122

但是，我们面对的是“无穷”，也就是要对所有的大于2的整数n， 证明费马大定理成立！

1983年，证明费马大定理的第二次重大突破是由年轻的法国数学家法尔廷斯做出的，年方29的他证明了“莫德尔猜想”，它的一个推论是：“方程xⁿ +yⁿ =zⁿ（n>3）只有有限多个互素整数解。”^[2]210

这是又一个重大突破——把互素整数解的个数从可能的无限降到有限！法尔廷斯的成果是当代数论与代数几何相结合的产物。

1994年，证明费马大定理的第三次重大突破，也就是最后的攻坚，是怀尔斯完成的。在此之前（1986年），美国数学家里贝特等建立了费马大定理与“谷山—志村—魏依猜想”（以下简称TSW猜想，该猜想由日本数学家提出）的联系。至此，只要证明了后者，就可以推出前者。TSW猜想试图建立椭圆曲线与模形式—— 这两个不同方向的研究对象之间的深刻联系，怀尔斯正是由此猜想的探究开始了攻克费马大定理的征程。经过“面壁八年”的上下求索，他终于为费马大定理的证明画上了句号。

二、重大突破的驱动力：研究范式的变革

库恩在《科学革命的结构》中认为范式是科学共同体的承诺，科学革命是范式的变革、世界观的改变。他将范式概括为由几个主要的成分（学科基质）构成：符号概括、共同承诺的信念、共有价值、范例^[3]163-168。另一方面，范式的建立，也体现在科学共同体的共同信念、共有价值观的大体一致，虽然这不是强制性和绝对性的，但也发挥了巨大的作用，而且随着范式的逐步稳固和年轻一代加入科学共同体，这些信念和价值往往自然得到更多共同体成员的认同。

下面结合费马大定理证明的历史过程，考察与该证明相关的数学研究范式的形成与变革。

1.第一次重大突破与第一个研究范式——“代数数论”研究范式的形成

库默尔做出的费马大定理证明的第一次重大突破，是数论与代数结合的新研究范式的产物，既是符号概括的典型案例，也反映了数学家数学观念的变革。这需要从数论与代数的发展史谈起。

古希腊有发达的几何学，其中欧几里得的《几何原本》的公理化思想是其精髓。但就数论和代数而言，并无大的建树。数论方面，古希腊数学家丢番图的著作《算术》里，汇集了各种特殊的不定方程，并研究了相应的详细解法，然而，其最大的缺点就是缺乏一般性、概括性。代数方面，由于毕达哥拉斯坚持“万物皆数”（这里的数只指整数，分数则被认为是两个整数的比） 而拒斥无理数，就不可能发展代数方程。李文林认为，“欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。”^［4］126法国数学家韦达是近代代数学的开拓者，他第一个有意识地、系统地使用字母，在他的《分析术引论》中，“代数一下子就成为研究一般类型的形式和方程的学问。” ^[5]304

代数学与几何学的结合孕育了解析几何。因为代数方法具有运用符号概括的特点，我们可以说这是“代数”研究范式形成的必要条件。

从当时学者们的观念和价值观看，代数方法的符号概括性反映了文艺复兴以来学者心中理性精神的复苏和发展，契合了他们对寻求普遍方法与规则的追求。费马对方法论的兴趣，可以从他的一本小书《平面和立体的轨迹引论》中看出来，“他在书中说，他找到了一个研究曲线问题的普遍方法。” ^[6]1

费马同样也是运用代数方法研究数论，他首先在数论中引入一般的方法和普遍的原理，被称为近代数论之父，首创了数论研究的代数范式。费马大定理本身就是一个“普遍情形” ：研究指数n取任意大于2的整数时，方程xⁿ +yⁿ =zⁿ的正整数解情况。在数论中的这种概括性研究方法与解析几何的思想是一脉相传的。对于数论研究中诸多问题的探究，“费马的努力像是一场一般化的运动”。^[7]405

循着类似的研究范式，高斯更充分地运用了代数方法研究数论，如著名的同余理论、复整数理论的建立，对二次型理论的深刻研究，使数论成为具有系统性、普遍性的理论。高斯更充分地发挥了代数具有的符号概括优点，例如，他创立的著名的同余理论，堪称符号概括的典范。

紧接着，库默尔无疑继承了本国数学家高斯的传统并加以发扬。为了证明费马大定理，他引入了理想数概念，对分圆域进行了深入探讨，导致代数数论的创立，也由此开创了数论研究的新范式——“代数数论”研究范式。费马大定理的一大批情形成为这种新范式中的特殊情形而被库默尔证明，从而取得证明费马大定理的第一个重大突破。

继续库默尔创建的费马大定理证明的新研究范式，数学家范迪威尔对“非正则素数”给出了一个强有力的一般性判据。借助计算机，到20世纪70年代，费马大定理的成立被推进到素数指数小于125000的所有情形。这里的证明，已经运用了规范的、程序化的算法，是在费马大定理证明的一个局部“小范式”中，进行一种“解谜题”的活动，符合库恩所称的“常规科学”特征，并无观念和方法上的重大突破。假若沿着这种研究范式继续推进，即使将费马大定理验证到对更大的素数指数成立，也已经没有什么意义了。

2.第二次、第三次重大突破及相应的研究范式变革

1983年，在法尔廷斯实现的第二次突破之先，几何学观念和方法的入，给费马大定理的证明带来了新的视角和生机，形成了一种新的研究范式，权且称之为“代数几何”研究范式。我国数学家冯克勤指出：“到了20世纪80年代，对费马猜想的研究兴趣又重新高涨起来。如果说19世纪费马猜想的研究是代数和数论相互促进的结果，那么这一次则得益于几何与数论的结合。” ^[8]102

具体地，法尔廷斯证明了费马大定理的一个“弱版本”：“方程xⁿ +yⁿ =zⁿ（n>3）只有有限多个互素整数解。”将方程xⁿ +yⁿ =zⁿ的互素整数解从可能的无限多个降为有限多个！但他也并不是在直接证明费马大定理的过程中获得这一结论，而是把这一结论视为一般的莫德尔猜想（有理数域Q上定义的任何亏格大于或等于2的代数曲线均只有有限个有理点）的特殊推论。事实上，法尔廷斯不仅证明了莫德尔猜想，而且证明了更为一般的结果：对每个代数数域K，定义于K上的亏格大于或等于2的代数曲线均只有有限多个K-点。

这种证明方法充分运用了类似符号概括的一般化方法，也即法尔廷斯的证明是在新的研究范式指导下进行的：用代数几何的方法研究代数数论问题，将方程xⁿ +yⁿ =zⁿ看成是一种特殊代数曲线的方程，系统运用了大量新的现代结果，才获得重大的突破，而且法尔廷斯一举证明了包含莫德尔猜想在内的三个重要猜想，在数学界引起了强烈的震撼！《纽约时报》对此也进行了报道。

从更宏观的数学观念来看，这些杰出成就是在20世纪数学抽象化、结构化思想指导下取得的，在20世纪，代数几何不仅建立了系统、抽象的结构体系，而且解决了一些遗留的经典“硬问题”。将数学问题置身于一个或多个结构化的数学体系中，由此可以引起链式反应：由一个问题的解决可以引起多个问题的突破；另一方面，解决一串有互相联系的问题有时甚至比解决一个容易，因为多个有联系的问题提示了一种观念、模式和方法系统，形成了一种互相支撑、启发的结构，指示或暗示了一些可行的道路。数学家丘成桐曾经就微分几何的研究提出了100个猜想，也是基于这种大结构、大系统观。其实，大数学家高斯早就说过：“费马大定理作为一个孤立的命题，我对此并没有多少兴趣。”

因此，我们看到，数学研究范式是涵盖了观念、价值、问题、理论、方法、规则、公式等的系统，其中有规范的、客观的、逻辑的、方法论层面的（问题、理论、方法、规则、公式的体系等，也含某种启发性），也有历史与文化层面的（如观念、价值等）。前者后来被拉卡托斯发展为“科学研究纲领方法论”，运用到数学中，就包括一个由核心理论与方法系统组成的“硬核”，另外还建立了相关的“保护带”^[9]69。如同郑毓信所指出的，“数学是一个多元的复合体”，包括理论、方法、问题和符号语言等客体成分与数学共同体具有的精神、思想等主体成分^[10]24。类似地，可以说数学研究范式也是一个多元复合体，其中“符号概括”应拓展为“运用数学符号语言概括的公式、规则、定理以及问题、理论、方法等综合而成的体系”，这一部分可以划归于波普尔所称的“第三世界”。而在库恩那里，范式是优先的，方法的运用不仅与规则、一般的指导原则有关，而且还须更多地依靠“范例”“家族相似”“默会知识与直觉”等，才能真正解决谜题。

费马大定理证明的第三次重大突破，则是基于数论研究的另一种新研究范式——解析方法的建立^[8]112：将费马大定理的证明转化为对所谓“弗雷曲线”证明谷山—志村—魏依猜想(TSW猜想)，这一猜想是在1955年1970年逐步形成的，它建立了椭圆曲线与模形式之间的对应关系，而椭圆曲线（并非中学里用二次方程表示的椭圆，椭圆曲线的一种典型方程是三次方程y²=x³+ax+b）是代数几何的研究对象，模形式则是数论、几何与解析方法相结合的产物，因此，费马大定理的“解析研究范式”，准确地说应是一种综合研究范式。冯克勤在《代数数论简史》中叙述了有关细节后指出：“由TSW猜想便可推出费马猜想。上述框架也使我们能够理解：1993年怀尔斯第一次公开宣布他证明费马猜想时，他的演讲标题是‘模形式，椭圆曲线和伽罗华表示’，只字不提费马猜想，他演讲的最后一句话是：‘这样，我就对所有半稳定的椭圆曲线证明了TSW猜想。’在场的所有专家们那时都已知道，弗雷曲线是半稳定的，所以这就证明了费马猜想。”^[8]187 怀尔斯回忆他当时下定决心攻克TSW猜想时的理由，主要是他未来的道路与主流的、有价值的数学联系在一起，而不是一条偏僻的胡同：“已经很多年了，谷山—志村猜想一直没有被解决。没有人对怎样处理它有任何想法，但是它至少属于数学中的主流。我可以试一下并证明一些结果，即使它们并未解决整个问题，它们也会是有价值的数学。我不认为我在浪费自己的时间。这样，吸引了我一生的费马的传奇故事现在和一个专业上有用的问题结合起来了。”^[11]189

也就是说，怀尔斯认准了大方向——循着一种新的有前景的研究范式：他有着正确的价值观和坚定的信念——不单是为了完全解决问题，而是沿着正确的、主流的数学道路向前探索，即使证明失败了，最终也会有所收获。而且，他所接受的教育也使他具备了解决费马大定理的知识基础，熟悉了相关问题的基本解决规则，并且，在着手解决费马大定理以前，他已经有了相当的解决“谜题”的经验——他已经是一个成熟的有良好声誉的数学家以及椭圆曲线研究专家。

库恩认为，由旧到新的范式转换，是“世界观”的转变，这也反映在费马大定理350年的证明史上。同样的费马大定理，在不同的范式下，显示出不同的意义，体现了数学家认识研究对象的不同观念和观察方式，也提示了不同的道路与解决方案。例如，在第二次突破的“代数几何”研究范式下，费马大定理中的方程xⁿ +yⁿ =zⁿ表示一类代数曲线，也就是说，此时在数学家眼里，方程已经不再是第一种范式下（最初意义）的丢番图方程；在第三次突破的综合研究范式下，则是研究与该方程相关的一类特殊的椭圆曲线，并借助这类椭圆曲线与模形式之间的联系证明了费马大定理。这几次重大突破相伴的范式转变，正如库恩所指出的：这种转变“是在一个新的基础上重建该领域的过程，这种重建改变了研究领域中某些最基本的理论概括，也改变了该研究领域中许多范式的方法和应用。”^[3]78从范式形成和变革的眼光来看，费马大定理证明史并不呈现简单的线性累积，而是伴随着研究范式、世界观的拓展、革新和转化，新范式的建立由于其优越性，往往会在吸取原有范式优点的基础上取而代之。

综上所述，费马大定理证明的几次重大突破中，都伴随着研究范式的变革，从而将费马大定理转化为新范式中的特殊问题，于是其部分或彻底的证明可视为新研究范式下的自然产物。

不仅费马大定理的证明如此，回顾数学史上许多数学难题的解决，常常也不是从特殊到一般情形的简单归纳或逐步解决；不仅仅是已有研究范式的程序化运用(解常规问题)，而是伴随着研究范式的拓广、跃迁、转化，使原有的观念、价值、问题、理论、模式得以扩展、变革、简化、建构，人们从新范式的角度重新看待、研究原有范式下的问题，这可能就是大数学家希尔伯特喜欢讲的“旧瓶装新酒”：老问题由于新范式的创建焕发生机，也增加了解决的可能性。例如，古希腊的三大尺规作图问题，就是将这类几何问题转化为代数方程的可约性问题和分析学中圆周率π的超越性问题而彻底解决的，也即是在代数、分析的研究范式下取得突破。^[12]2 另一个大名鼎鼎的数学难题——拓扑学里的“庞加莱猜想”，是说任何一个单连通、闭的的三维流形必定同胚于一个三维球面，这里所谓“同胚”，直观地说就是不撕裂、不粘合的连续变形。庞加莱猜想的最终证明在猜想提出100年后，由俄国数学家佩雷尔曼在2003年完成。佩雷尔曼将庞加莱猜想置于更一般的“几何化猜想”（Thurston几何化猜想）框架背景下，后者证明过程中遇到的瓶颈问题，被佩雷尔曼运用几何分析中的Ricci流方法并借助于“熵”的概念加以解决，因此庞加莱猜想的获证，也是在研究范式的转换下，突破单纯的拓扑学研究范式而实现的。

证明庞加莱猜想的数学家佩雷尔曼

一般而言，对于非常规数学难题的求解，研究范式的改变，往往起到化难为易、别开生面的效果；如果一味在原有范式里埋头苦干，可能会劳而无功或无本质性进展。反过来，这类问题的探究求解，有时也促进了新范式的建立。正如数学家希尔伯特所说，费马大定理在数学史上是“一只下金蛋的鹅”。这只身价不菲的“鹅”也给数学史与数学哲学研究提供了极佳的研究素材，让我们对数学的本性及其发展有了更深刻的理解。

参 考 文 献

[1]胡作玄．350年历程——从费尔马到维尔斯[M]．济南：山东教育出版社，1996．

[2]冯克勤.代数数论简史[M].长沙:湖南教育出版社，2002.

[3] T．S． 库恩．科学革命的结构[M]．北京：北京大学出版社，2003．

[4]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社，2002.

[5]M．克莱因．古今数学思想（第一册）[M]．上海：上海科学技术出版社，2002．

[6] M．克莱因．古今数学思想（第二册）[M]．上海：上海科学技术出版社，2002．

[7]解恩泽，徐本顺主编．世界数学家思想方法[M]．济南：山东教育出版社，1993．

[8] 冯克勤. 费马猜想[M]. 北京: 科学出版社， 2002.

[9]I.拉卡托斯.科学研究纲领方法论[M].上海: 上海译文出版社， 1986.

[10] 郑毓信.数学教育哲学[M].成都:四川教育出版社，2001.

[11]西蒙.辛格.费马大定理[M]．上海：上海译文出版社，1998．

[12]F．克莱因．初等几何的著名问题[M]．北京：高等教育出版社，2005.

■ 扩展阅读：

■ 作者简介：本文作者沙国祥，毕业于复旦大学数学系，凤凰出版传媒集团资深编辑，曾任多家数学学习与教学杂志主编、副主编。江苏省科普作家协会理事，长期从事数学文化传播与科学普及工作。主编、编写的《数学文化素质教育资源库》《数学阅读精粹》等图书颇受青少年读者喜爱。作者授权风云之声首发。

■ 责任编辑：陈昕悦

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