15个数论难题，解决任意一个都能让你称为顶级大佬 | 哆嗒数学网

导言：

这些问题都是世界难题。

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下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中，符号x^y 表示x的y次方。

1、哥德巴赫猜想：每个不小于6的偶数，都可表示为两个奇质数之和。

2、考兰兹猜想，也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n，如果n是偶数，则将其除以2，如果是奇数，就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去，会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说，无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4，2，1，4，2，1......这样的循环。

3、勒让德猜想：任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n^2 < p < (n+1)^2。

4、孪生质数猜想：存在无限多个质数p，使得p+2也是质数。

5、梅森质数猜想：形如 2^n - 1 的正整数中，有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出，已经经过380多年了。

6、n^2+1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1 是质数。

7、费马数猜想：数列F(n) = 2^(2^n)+1 ，n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n = 0,1,2,3,4时，费马数F(n)是质数；1732年欧拉发现F(5)是合数， 此后没有再发现其它费马数是质数。

8、奇完美数猜想：是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指，它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。

9、完美长方体猜想：是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c，使得 a^2+b^2 , a^2+c^2, b^2+c^2, a^2+b^2+c^2 这四个数的平方根都是整数。

10、黎曼假设：该问题提出于1859年，即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题。

11、欧拉常数γ是有理数还是无理数？其中γ的定义是 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n 在n→∞时的极限。

12、对于黎曼ζ函数，当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明，k为正偶数时，ζ(k)是关于π的有理系数多项式，所以是超越数。

13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集，A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况，这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。

14、n≥5时，拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1) = 1， R(2,2) = 2，R(3,3) = 6, R(4,4) = 18，n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5) 是43到48这6个数中的其中一个，也无法把它验证出来。

15、华林问题各种值的确定。对于正整数m，n , 如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说g(m)=n。比如四平方和定理：每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和，相当于说g(2)=4。对于正整数m，n , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是 g(2) = 4 ,  g(3) = 9 , g(4)=19 ,  g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4,  G(4) = 16，还没有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m) = 2^m + [(3/2)^m] - 2， 这里方括号表示取整。

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■ 背景简介：文章2022年8月11日发表于微信公众号 哆嗒数学网（15个数论难题，解决任意一个都能让你称为顶级大佬），风云之声获授权转载。■ 责任编辑：KK.

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