彼得·肖尔：量子计算的早期岁月（下）| 中国信息协会量子信息分会

导言：

我重新梳理了关于量子计算早期进展的一些记忆片段。这些进展包括因数分解算法、纠错码以及容错的发现。

译者按：

从1911年的首届会议开始，索尔维物理学会议就一直对量子物理的发展起着推动作用。

今年5月，第28届索尔维会议在布鲁塞尔召开，会议主题为“量子信息的物理”。量子计算先驱彼得·肖尔出席会议并做了报告。这是肖尔的报告文稿，将收入会议文集中。

蒙索尔维国际物理学化学研究会慷慨允诺，我们得以把这篇文章翻译刊载出来。

前几天我们发布了文章的上半部分（彼得·肖尔：量子计算的早期岁月（上）| 中国信息协会量子信息分会），今天发布文章的下半段，讲述了纠错码和容错计算的发现过程。纠错和容错是技术上实现量子计算机的关键，也是当前研究的热点。

这部分内容涉及一些技术细节，在这里稍作解释。量子纠错码最初是通过类比经典纠错码发展起来的，其中的关键是阿达马门H的使用。在量子容错计算方面，文章中事实上用到了魔法态制备和（单比特）量子隐形传态（Quantum Teleportation），就是把不易进行容错操作的门放在初态制备过程中，然后通过量子隐形传态传送到量子电路中的所需位置。

这些内容我们会有选择性地在后续的文章中介绍。

摘要

我重新梳理了关于量子计算早期进展的一些记忆片段。这些进展包括因数分解算法、纠错码以及容错的发现。

彼得·肖尔 来源：nature.com

正文  

针对量子计算有一种强烈的反对意见，罗尔夫·兰道尔五月份在圣塔菲研究所的会议上就提出来了。

量子计算机看起来无法提供容错。而在没有容错的情况下，如果你要在一台量子计算机上运行N步，你得保证每一步都精确到1/N。

当N很大的时候，比如10亿（这差不多是你对一个加密上有意义的大数做因数分解所需要的），这在实验物理学家们看来是绝对不可能的。

有两个主要的量子力学原理，海森堡不确定性原理和量子不可克隆定理，被视为纠错的阻碍。

海森堡不确定性原理是说你无法完整地测量出量子计算机的态。量子不可克隆定理则是说你无法复制一个未知量子态。

假定你用不可靠的元件来搭建经典计算机，并且希望让它容错，有很多技术可以使用。

一种是检验点——你周期性地记下你的计算状态，而一旦计算在某个点偏离了，你不用从头开始，只需要在检验点开始就可以了。

另一种技术是纠错码。这些编码利用冗余来帮助你修复在存储中损坏的比特。

最后，还有一种技术是大量冗余。你在计算中保留每个比特的多个副本，并且不断地对它们进行相互比较来修复那些出错的。大量冗余可能是这些技术中最强力的，冯·诺依曼1956年就研究过。

问题在于，量子不可克隆定理似乎表明所有这些都不可行。对于检验点来说，你不能记下你的计算状态再继续计算——这是在做备份。对于大量冗余来说，修复错误涉及备份——如果你有四个好的计算副本和一个坏的副本，由此得出五个好的副本也是不可克隆定理认为不可能的事情。

幸运的是，尽管纠错码看上去也需要冗余，但还能奏效。

虽然在上学的时候没怎么学过，我在贝尔实验室的数学中心待过，所以了解纠错码的一些内容。

最简单的经典纠错码是重复码，这时你给比特做多个备份，然后利用多数票来修复错误。可以运作的最短码是三比特码（因为你需要多数）。

对于量子码你也可以这么做。这一编码如下，它将一个量子比特编入三个量子比特中

这里，代表逻辑量子比特，被编码进三个物理量子比特中。这一编码纠正比特错误，但它让相位错误的可能性变成了三倍。

我意识到存在量子编码的一种变换，就是我们现在所说的阿达马变换，可以把比特错误变成相位错误，反之亦然。这一变换就是

如果你作用上这一变换，你会得到一个相位错误纠正码，它可以纠正相位错误，但会让比特错误的可能性变成三倍。这一编码就是

你可以将这两种码组合起来，通过一种叫做级联的过程，这是经典编码理论中非常重要的一种技术：首先，你将想要保护的量子比特用其中一种量子码编码；接着你将得到的态中的每个量子比特用另一种码编码。

当你将它们用这种方式组合后，你得到如下可以同时纠正比特错误和相位错误的9-量子比特码：

我就是这样发现9-量子比特码的。

经典上，重复码非正式地出现得有几千年了。

不过，更复杂的经典纠错码，比重复码有效得多的，才发现不到五十年的时间，这其中最早的一种是由理查德·汉明发现的。

照此类推，我决定去寻找更复杂的量子纠错码。

我开始把玩经典的7-比特汉明码——仅比重复码复杂的经典码——并发现了其量子版本，它把一个量子比特编码进七个量子比特中，并且纠正一个错误。

这里的关键又是阿达马变换，它把比特错误和相位错误来回转换。经典的汉明码纠正比特错误。不过，如果你把它的码字以适当的方式做成叠加态，就会在阿达马变换下是不变的，从而可以同时纠正比特错误和相位错误。

这给出了7-量子比特的量子汉明码：

我把这一构造展示给罗伯·凯尔德班克，接着我们将它推广成一大类量子纠错码，通过组合两种相互弱对偶的经典码。

安德鲁·司迪恩在差不多同一时间发现了量子汉明码和这种构造方式，所以这些编码如今以它们的发现者命名为CSS码。

在这些发展之后，人们开始寻找其它的量子纠错码。

两个小组，一个在洛斯阿拉莫斯国家实验室，一个在IBM，把这一问题交给了电脑，并且都发现了一种5-量子比特码。

这两种5-量子比特码看起来完全不同，但你可以作用一系列变换，然后看出它们其实是一样的。此外尽管看上去它们明显具有某种结构，这一结构究竟是什么却并不清楚。

当我试着去弄清这一编码的结构时，我决定去做的第一件事就是去找出它的对称群。

我问尼尔·斯隆是如何找对称群的，他告诉我某种软件——确切地说，是MAGMA——并且给了我一个MAGMA程序实例，是他写出来计算他研究中用到的一个群的大小的。

软件显示我的群跟他的群是同样大小，都是5160960。不仅如此，如果仔细观察，会发现它们其实就是同一个群，并且在两个问题之间存在着深层联系。

这引导我们发现了稳定子码理论（丹尼尔·戈特斯曼同时也发现了）。

在此期间还有些其它有趣的进展。

阿列克谢·基塔耶夫听说了因数分解的结果，但因为在俄国，他实在没法拿到文章。于是他想出了结果的另一种证明，这给我们带来了相位估计算法。

而贝尔实验室的洛夫·格罗弗发现了一种量子搜索算法，效率是最好的经典搜索算法的平方。

最后我想谈论的事情是容错。

为了建造量子计算机，光是能用无噪声门进行纠错是不够的；你还得能用有噪声门纠错。这意味着，你纠错的速度得比你引入新错误的速度更快。

冯·诺依曼1956年说明了用经典含噪门如何做到这一点。但对于量子比特这略为棘手——你得弄清楚如何在解码之前对编码的量子比特执行操作，因为一旦解码出逻辑比特，你可能已经将它们暴露在错误之中了。

我意识到对于克利福德群（译注：由阿达马门H，相位门S以及受控非门CNOT生成的群，其中S门的效果是将量子比特绕z轴转动π/2角度。）里的门这是相当直接的，因为对于某一类的CSS码你可以横向执行这些门，也就是说，可以让编码一个逻辑量子比特的第i个量子比特只与其它逻辑量子比特的第i个量子比特作用。

这将码字的第i个量子比特与第j个量子比特分离开来，因此错误不会传播得非常远。不过，这仅仅对克利福德群里的门奏效，而克利福德群的门无法让你做通用计算。

事实上，如果你的量子电路只含有克利福德群里的门，它可以用经典计算机来仿真。

如何在编码的量子比特上执行非克利福德门？

其实我们只需要弄清楚如何实现不在克利福德群里的一个门就行了。我最开始尝试的是在编码的量子比特上实现这个门

当我们把这个门作用到一个任意的编码量子比特上，，会发生什么？我们会得到

对比它与下面这个态

怎样才能把这个态变成需要的态？

我们可以作用一个受控门改变态的符号，接着作用从第二个量子比特到第一个量子比特的CNOT，或者说受控门。（受控泡利门是在克利福德群里的，所以我们可以容错地运行。）这会为我们给出这个态

现在，如果我们在基下测量第一个编码量子比特并且得到结果，我们就得到了所要的态。相反，如果我们得到结果，我们会有态。

于是我们找到了一个流程，可以将一个态顺时针或者逆时针转动2π/3，每个方向各有1/2的概率。

不过，因为顺时针转动这个角度两次会给出逆时针的转动，我们可以重复这个过程直到得到态，而且我们预期要做的转动次数也只有两次而已。

以上想法的困难在于，怎样制备编码态并不清楚。

我花了一些时间和精力，想到了如何使用类似的方式来构建托佛利门（译注：即量子控-控-非门，也叫量子与门）。

我们不再使用辅助态，而是使用。

制备这个辅助态的关键是使用猫态。你可以检验这个态来保证它是包含最多0的态和包含最多1的态的叠加。

你没法轻易检验叠加的相位；不过，如果你小心构建你的电路，这个相位的错误只会导致量子码中的可纠正错误，从而可以用纠错电路处理。

我的文章并没能给出我想要证明的容错结果，也就是阈值定理。

阈值定理是说，如果你有足够低的常值错误率，你可以对任何量子电路构建它的容错版本，并且只承担不超过多项式水平的额外开支。

我的文章的一个不足之处是，它只展示了如何实现有限门集。我说明了如何实现所有的克利福德门和托佛利门。你还可以找到其它一些门的严格构建方式。不过，基于量子容错的本质，任何容错协议都只能执行有限的门集。

这是因为，如果它可以容错地实现依赖于一个连续参数的一族门，你是没法区分该连续参数的两个相近值的。因此，你所需要做的是找到一组离散门集，对较小数目量子比特上的任意幺正变换给出很好的近似。

索罗维-基塔耶夫定理表明这是可行的。事实上，这一定理表示，如果SU(k)中的任意有限门集可以生成SU(k)中稠密的一个群，那么SU(k)中的任意门都可以用这个门集的一个相对较短的序列来很好地逼近。

利用这一点你可以证明，如果对能生成SU(k)中稠密的一个群的任意门集实现了容错操作，你可以用这些近似去构建一个容错电路，使得它能足够好地逼近任何电路，并且只需要承担多对数的额外开支。

我的文章也没有说明量子计算机能够完全容错地建造。

它表明，如果你的量子硬件的错误率是ε，你可以运行数量级的门，使得总错误率较小，这里c是某个常数。

可是，我真正想证明的是，存在某个阈值，如果错误率ε在这个阈值之下，任意长的运算都可以容错地进行。

两个研究组最终证明了这一结果，通过将我的构造自我级联很多次。要计算n步，你需要级联loglogn层，并为此付出多对数的开支。

阿列克谢·基塔耶夫发现了另一种执行容错量子计算的方法，通过利用拓扑码。

阈值定理的发现说明量子计算机在技术上也许是可行的（尽管仍然很困难），从而导致了对各种实际建造路线的研究的大爆发。

原文链接：

The Early Days of Quantum Computation，Peter W. Shor, arxiv:2208.09964, https://arxiv.org/abs/2208.09964

作者简介：彼得·肖尔，美国麻省理工学院应用数学系教授，Shor算法提出者

译者简介：左芬，博士，上海微观纪元数字科技有限公司

■ 扩展阅读：

■ 作者简介：本文2022年9月2日发表于微信公众号 中国信息协会量子信息分会（彼得·肖尔：量子计算的早期岁月（下）），风云之声获授权转载。

■ 责任编辑：羊羊

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