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之前颜老师跟大家分享的是初一年级数学的学习方法和要注意的事项，这次整理的是各个单元的知识点以及相关题型，还没预习的同学要趁着暑假最后的时间为新学期多做准备，已经预习过的同学可以对照着巩固一下自己的预习效果。

第一章　有理数

知识点一  有理数的分类 

有理数的另一种分类

想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。

知识点二  数轴

1.填空

① 规定了唯一的原点，正方向和单位长度  (三要素)的直线叫做数轴。

② 比－3大的负整数是-2、-1。

③与原点的距离为三个单位的点有2个，他们分别表示的有理数是3、-3。

2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？

3.选择题

① 在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（　）

Ａ整数　   Ｂ负数　   Ｃ非负数　    Ｄ非正数

②下列语句中正确的是（　）

Ａ数轴上的点只能表示整数　     

Ｂ数轴上的点只能表示分数　

Ｃ数轴上的点只能表示有理数　   

Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

答案 AD

知识点三  相反数

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。

知识点四  绝对值

1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2.绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3.比较两个数的大小关系

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。

知识点五  有理数加减法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2.互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。

知识点六  乘除法法则

1.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相乘 。 0乘以任何数，都得  0   。

2.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为 偶数  时，积为正；负因数的个数为 奇数 时，积为负。

3.两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 。0除以任何一个不等于0的数，都得  0   。

4.有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为 倒数 。

5.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的 倒数 。

知识点七  乘方

乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

      中，底数是a，指数是n，幂是乘方的结果；读作：的n次方 或 的n次幂。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

知识点八   运算律及混合运算

1.加法交换律：a+b=b+a

1.加法交换律：a+b=b+a

2.乘法交换律：a·b=b·a

3.加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c

4.乘法结合律：a·(b·c)=(a·b)·c

5.乘法分配律：a·(b+c)=ab+ac

6.有理数混合运算顺序：先乘方；再乘除；最后算加减。

7.有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 。

8.同级运算， 从左到右进行 。

知识点九  近似数

1.近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。

2.近似数的分类

（1）具体近似数（如30.2、58.0 …）

（2）带单位近似数（如2.4万…）

（3）科学记数法

3.精确度：用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4万精确到千位，而非十分位，因为2.4万就是24000，4在千位上)。

4.有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。

求近似数要求保留n个有效数字时，第n+1个有效数字作四舍五入处理。

例：0.0109有三个有效数字1、0、9，要求保留2个有效数字时，0.0109的第三个有效数字9四舍五入，变为0.0110，保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。

第二章  整式的加减

知识点一  整式的相关概念

代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)

1.单项式：数或字母的积（如5n），单个的数或字母也是单项式。

（1）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。( 如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。

（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。

2.多项式

（1）概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

（3）多项式的排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

在做多项式的排列的题时注意：

(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符

看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3.整式: 单项式和多项式统称为整式。

4.列代数式的几个注意事项

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式；

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .

知识点二  整式的加减运算

1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏

3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。

注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4.几个重要的代数式：（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：  a2-b2  ；   a与b差的平方是：（a-b）2  ；（本式中2为平方）

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b  ,则三位整数是：100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n   ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：  n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 （本式中2为平方）

第三章  一元一次方程

知识点一  方程的相关概念

等式：表示相等关系的式子。

方程：含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，并且等式两边都是整式的方程。

同解方程：两方程的解相同。

知识点二  等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。

知识点三  解一元一次方程

1.一般解法：

ⅰ  去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ  去括号；

ⅲ  移项：移项要变号；

ⅳ  合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ  系数化为1：两边同除以未知数的系数, 得到方程的解x=b/a。

2.一元一次方程的应用(重点难点)

列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

3.几种常见问题
a.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

b.行程相遇问题：三个基本量的关系   路程=速度×时间
(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；
(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

c.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间
一般情况下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。

d.利润问题：利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。

e.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？ 

f.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。

应用举例
1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?
等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。

2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比(    )
A.不变             B.增加1%        

C.减少9%        D.减少1%
注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。
(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米  甲的路程=甲的速度×时间x   乙的路程=乙的速度×时间x   得到方程:9x+7x=400
(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇, 所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天
分析:合作时间=工作量／合作效率   工作量=1   合作效率=甲的效率+乙的效率
甲的效率=工作量／甲的时间=1／x  乙的效率=工作量／乙的时间=1／y
∴合作时间=1／(1／x+1／y)

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

分析：设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)= 利润率(已知15.2%)

利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

 ∴(90%x-250) ／250=15.2%

第四章  图形认识初步

知识点一：几何图形

1.我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2.有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。

3.有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。

4.立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分是平面图形，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。

知识点二  点、线、面、体

1.立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。

2.几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。

知识点三  直线、射线、线段

1.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。

射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

2.点与直线的位置关系

点p在直线a上(或说直线a经过点p)；

点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。

过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。

3.线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。

两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。

两点间的距离：连接两点间的线段的长度。

线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法

知识点四  角

角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。

角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。

角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。

角的单位：度,分,秒 

①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′

②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″

角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。

角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。

余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

性质：等角的补角相等；等角的余角相等。

题型一：作图题

例1  已知：线段m、n。（如图）  

求作：线段AC，使AC = m - n。

作法：（1）作射线AM；

（2）在射线AM上截取AB = m。

（3）在线段AB上截取BC = n。

则线段AC就是所求作的线段。

题型二：线段的分类考虑

例2  已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长。

解：本题分两种情况：

如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，

AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；

如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，

AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．

所以线段AC的长为11 cm或5cm。

例3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是(    )

A．1或3    B．3    C．2    D．1

解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线．    答案：A

题型三：  两角互补、互余定义及其性质的应用

例4  一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数

解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°。

由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°。

点拨  本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题。

例5  如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是(    )

A．30°    B．60°    C．90°    D．150°

解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°。    答案：A

例6  根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论。

解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°。

说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，

则 (180°－α)－(90°－α)＝90°。

题型四  角的有关运算

例7  如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数。

解：因为∠AOE＝90°，

所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．

又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，

所以∠3＝∠AOD＝76°20′．

所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．

例8  如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD。

解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，

所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β

又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.

例9  (1)用度、分、秒表示54．12°

(2)32°44′24″等于多少度?

(3)计算：133°22′43″÷3

解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，

所以54．12°=54°7′12″．

 (2)因为24″=()′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，

所以32°44′24″=32.74°．

(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3

＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3

=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″。

题型五  钟表的时针与分针夹角问题

例10  15：25时钟面上时针和分针所构成的角是__度

解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0.5°×25＝12.5°，所以15：25时钟面时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12.5°＝47.5°   

答案：47.5

例11  从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是(    )

A．30°    B．60°    C．90°    D．120°

考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°。

题型六：方位角

例12  如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2.5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3 cm到达C处。

(1)画出蚂蚁爬行的路线；

(2)求∠OBC的度数；

(3)测出线段OC的长度(精确到0.1 cm)．

解：(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示

(2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°方向爬行2.5 cm到达B处，即∠OBD＝30°，则∠ABO＝60°．

又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．

所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．

(3)用刻度尺测量OC的长约为4.4 cm．

题型七   折叠问题

例12  如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数．

解：EN平分∠AEA‘,所以 ∠AEN=∠A’EN

同理,EM平分∠BEB‘,所以 ∠BEM=∠B’EM
因为：∠AEN+∠A’EN+∠BEM+∠B’EM=180度
所以：∠A’EN+∠B’EM=90度

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