解决不等式中“任意”或“存在”问题的策略
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解决不等式中“任意”或“存在”问题的策略
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文 | 苏艺伟
高中数学有一些涉及不等式求参数取值范围的题目经常出现这样的字眼：“任意”，“存在”。有些较为复杂的题目甚至出现两个“任意”，两个“存在”，或者既有“任意”又有“存在”。
学生在解决诸如此类的问题，思维较为混乱，不知道该怎么入手。笔者经过多年的教学实践，在教学过程中总结了一套解决这类问题的规律，并教给学生使用，学生在使用的过程中普遍反映效果较好，能较好地区分“任意”与“存在”问题，较快地解决出该类题目。现说明如下。
Part
1
一元不等式中的“任意”或“存在”问题
任意问题
“任意”的另外一种表述是“恒成立”。有时候题目出现“恒成立”这样的字眼其实就是这类问题。
第一：
记忆方法
第二：
记忆方法
综合以上两种情况，总结出任意问题的解题思路：
因此，上述思路最关键的是记住“任意异号”这个特点。现举例说明如下：
2
存在问题
“存在”的另外几种表述是“能成立”，“有解”，“解集非空”，如果题目出现这样的表述都归为这一类。
第一：
记忆方法
第二：
记忆方法
综合以上两种情况，总结出存在问题的解题思路：
因此，上述思路最关键的是记住“存在同号”这个特点。现举例说明如下：
综上，对于一元不等式中的“任意”或“存在”问题，方法总结如下：
因此，对于一元不等式中的“任意”或“存在”问题，抓住“任意异号”，“存在同号”这两个特点，那么在解题的过程中我们就不会把这些问题混淆了。这样的记忆方法朗朗上口（“意”与“异”同音）非常方便学生记忆，学生很快就能记住，效果很好。为方便以下说明本文把这个方法记为策略A。
根据策略A很容易得到：
Part
2
二元不等式中的“任意”或“存在”问题
设f(x)对应的区间为A，g(x)对应的区间为B，分以下四种情况进行说明：
记忆方法
记忆方法
记忆方法
记忆方法
综上，对于二元不等式中的“任意”或“存在”问题，方法总结如下：
因此，对于二元不等式中的“任意”或“存在”问题，抓住以上方法就可以得到相应的转化结论，从而避免去记忆这么多种情况。对学生来讲，如果去记忆这么多种情况显然不仅记不住反而在思维上产生混乱。如果教会了以上的方法，那么学生可以自己推导，并且迁移到其他类型的情况，不管碰到什么样的类型都会自己解决。本文把这个方法记为策略B。
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3
结语
古人云：授人以鱼，不如授之以渔。笔者在教学过程中发现，只要将策略A和策略B教会给学生，学生就能由理解到掌握，进而能灵活运用，变为能力，最大限度地发挥自己的思维才智，享受到学习成功的喜悦。
综合以上分析，策略A和策略B是解决不等式中“任意”或“存在”问题的较好的方法。这类问题经常涉及到导数，函数，不等式等知识，考查学生求导，求最值，解不等式，分类讨论，转化与化归思想等等。
在平时的解题过程中，还需要学生善于观察题目条件，选择合适的方法，合理进行转化，这样才能更好地解决这类题目。
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