漫画算法：找出缺失的整数

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来源：玻璃猫@伯乐在线专栏作者

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小灰一边回忆一边讲述起当时面试的情景……

题目：一个无序数组里有99个不重复正整数，范围从1到100，唯独缺少一个整数。如何找出这个缺失的整数？

解法一：

创建一个HashMap，以1到100为键，值都是0 。然后遍历整个数组，每读到一个整数，就找到HashMap当中对应的键，让其值加一。

由于数组中缺少一个整数，最终一定有99个键对应的值等于1, 剩下一个键对应的值等于0。遍历修改后的HashMap，找到这个值为0的键。

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（1），空间复杂度是O（N）。

解法二：

先把数组元素进行排序，然后遍历数组，检查任意两个相邻元素数值是否是连续的。如果不连续，则中间缺少的整数就是所要寻找的；如果全都连续，则缺少的整数不是1就是100。

假设数组长度是N，如果用时间复杂度为O（N*LogN）的排序算法进行排序，那么该解法的时间复杂度是O（N*LogN），空间复杂度是O（1）。

解法三：

很简单也很高效的方法，先算出1+2+3….+100的和，然后依次减去数组里的元素，最后得到的差，就是唯一缺失的整数。

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N），空间复杂度是O（1）。

题目扩展：一个无序数组里有若干个正整数，范围从1到100，其中99个整数都出现了偶数次，只有一个整数出现了奇数次（比如1,1,2,2,3,3,4,5,5），如何找到这个出现奇数次的整数？

解法：

遍历整个数组，依次做异或运算。由于异或在位运算时相同为0，不同为1，因此所有出现偶数次的整数都会相互抵消变成0，只有唯一出现奇数次的整数会被留下。

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N），空间复杂度是O（1）。

题目第二次扩展：一个无序数组里有若干个正整数，范围从1到100，其中98个整数都出现了偶数次，只有两个整数出现了奇数次（比如1,1,2,2,3,4,5,5），如何找到这个出现奇数次的整数？

解法：

遍历整个数组，依次做异或运算。由于数组存在两个出现奇数次的整数，所以最终异或的结果，等同于这两个整数的异或结果。这个结果中，至少会有一个二进制位是1（如果都是0，说明两个数相等，和题目不符）。

举个例子，如果最终异或的结果是5，转换成二进制是00000101。此时我们可以选择任意一个是1的二进制位来分析，比如末位。把两个奇数次出现的整数命名为A和B，如果末位是1，说明A和B转为二进制的末位不同，必定其中一个整数的末位是1，另一个整数的末位是0。

根据这个结论，我们可以把原数组按照二进制的末位不同，分成两部分，一部分的末位是1，一部分的末位是0。由于A和B的末位不同，所以A在其中一部分，B在其中一部分，绝不会出现A和B在同一部分，另一部分没有的情况。

这样一来就简单了，我们的问题又回归到了上一题的情况，按照原先的异或解法，从每一部分中找出唯一的奇数次整数即可。

假设数组长度是N，那么该解法的时间复杂度是O（N）。把数组分成两部分，并不需要借助额外存储空间，完全可以在按二进制位分组的同时来做异或运算，所以空间复杂度仍然是O（1）。

十分钟后……

以上就是小灰面试的情况……

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专栏作者

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玻璃猫：互联网公司的码农一枚，喜欢算法和面向对象设计。

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