算法导论 | 循环不变式与插入排序

我们在学习算法阶段第一个要解决的问题就是排序，也就是把一个由n个数组成的序列顺序或逆序排列。

插入排序

插入排序是最容易想到的算法，因为在平时最常使用。比如说在打扑克的时候，每次抽一张牌，和左手已经有的牌逐个比较，直到找不到更小的为止。R代码如下

insert.sort <- function(x){  # 先抽一张牌
    arr <- x[1]  
    for (i in seq(2,length(x))){    
    # 以此抽取列表x的值
    value <- x[i]    
    # 当我们抽了i张牌的时候，左手已经有i-1张牌
    j <- i - 1
    # 如果前面还有牌，并且抽的牌比前面的小
    while(j > 0 & arr[j] > value ) {    
    # 把之前的牌放在最后的位置
      arr[j+1] <- arr[j]    
    # 则将这张牌放在之前的位置上
    # 继续将这张牌和之前的牌进行比较
      j <- j -1
    }    
   # 找不到了就把前一个位置给他
    arr[j+1] <- value
  }
  arr
}

这个算法虽然简单，但它符合循环不变式的三个性质：初始，保持，终止

• 在初始时，循环不变式成立。在这里就是抽第一张牌的时候成立

• 保持意味着每次循环开始，循环不变式成立，结束后循环不变式也成立。在这里为每抽一张牌之前，左手的牌都是排序的，并且在抽下一张牌前，左手的牌也经过了排序。

• 循环不变式不能无限运行，必须有一个终止条件。这里就是当你把牌全部抽完。

其中初始和保持这两条性质类似于高中学过的数学归纳法。

- 当n=1的时候，等式成立，

- 假设n时等式成立，那么只要证明n+1时，等式也成立的话，对于任意正整数，该等式也成立。

不过数学归纳法可以无穷无尽，而循环一定要有终止的时刻，不然费电。

本次就介绍排序算法，下次介绍如何归并排序和分治法。

PS： 学算法真费脑，昨天吃完晚饭看了一个小时，肚子就饿了。

作业：

1. 我的代码输入结果式升序的，请尝试写出降序，编程语言随意

2. 假设你有已经排序的序列A，给定一个数值，查找该数值在A的位置，如果找不到则返回NIL。代码应该如何写