2020荷兰IMO代表队选拔考试 -中文翻译
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今天推送2020荷兰IMO代表队选拔考试试题。
2.求所有实系数多项式 ,使得 .
3.对正整数, 为了在 的网格中放置的骨牌各一个, 需要将其中恰好 个单元格染成红色, 使得我们既可以将这个骨牌全部水平放置,并覆盖所有红色单元格, 也可以将这个骨牌全部垂直放置,并覆盖所有红色单元格.问这样的染色方法有多少种.
注: 通过旋转或翻折所得到的染色方法视为不同的.
4.已知正整数 且. 设 为可以表示为 的最小正实数, 其中正整数 和 满足 , . 求证: 为整数.
第二天
1.给定实数 (不一定互异). 对任意 , 设 为多项式的最小实根(如果有的话) 已知对任意, 都存在.
证明 对任意 成立.
2.黑板上写有这999个整数,每个各一个.甲乙两人用这些数玩游戏, 规则如下: 由甲先开始, 两人轮流从黑板上选取互质的两个数, 将他们擦除, 并写下他们的和. 当有人无法进行操作时, 另一人获胜. 问谁有必胜策略.
3.求所有的正整数对 ,使得 .
其中 表示集合 中满足的正整数 的个数.
4.锐角 中, 过作垂线, 过作垂线, 两种交于.过作垂线, 过作垂线, 两种交于. 过作外接圆的切线,两者交于P. 求证: .
第三天
1.对正整数 , 设 表示其正因数的个数. 求所有的正整数 , 使得存在正整数 和 ,满足 .
2. 内接于圆 ,且 . 在劣弧上 , 有一个动点 . 设 为 关于 平分线的对称点. 证明直线 经过一个与无关的定点.
3.求所有函数 , 使得
对任意 成立.4.给定正整数,其中 .甲乙两人在一块的板上玩游戏.
甲说: 我可以在这块板上放置个的长条.
乙说:那太简单了,不如加个条件吧, 我来规定每个长条是水平放置还是垂直放置. 并且所有的长条不能重,也不能超出板的范围.
甲说:没问题.
求的最大值.
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数学小分享--Wolf奖获得者
费弗曼
费弗曼主要从事古典分析的研究。1970年起，他就开始把卡尔松等人的结果推广到多变量情形，找到一些反例。1973年，他给出了卡尔松结果的一个简单的证明。在这个过程中，他发现三角级数收敛问题与奇异积分算子这两个互不相关的领域有密切的内在联系，由此推动了整个领域的大发展。费弗曼的另外一个突出成就，是发现了哈代空间Н′与有界平均振动函数空间BMO的对偶关系。1961年，有人从另外角度发现了BMO。而这两个空间之间没有料到的这种简单关系，则是1971年由费弗曼发现的。费弗曼在偏微分方程方面也有巨大贡献。1973年他给出非退化线性偏微分方程局部可解性的一个既充分又必要的条件，使这个问题得到完满解决。他还在多复变函数论方面有重要贡献，在1974年证明了：一个具有光滑边界的严格伪凸区域到另外一个的双全纯映射可以光滑地延拓到边界上。许多数学家尝试证明都没有成功，因为多复变的区域和单复变情况不同，两个单连通区域不一定双全纯等价，这样单复变的方法不能够应用，而费弗曼用独创的新方法解决了这个问题。