奚颖瑞 | “格拉斯曼与胡塞尔”
「格拉斯曼与胡塞尔」
奚颖瑞
（杭州师范大学马克思主义学院）
（本文选自《中国现象学与哲学评论》第二十八辑：现象学与当代问题）
一
1876年，17岁的胡塞尔来到莱比锡大学，开始了自己的大学生活。他在这里度过了三个学期，主修天文学，听过赫尔曼·汉克尔（Hermann Hankel）的数学课，结识了赫尔曼·恩斯特·格拉斯曼（Hermann Ernst Grassmann，1857-1922）。格拉斯曼年长胡塞尔两岁，从莱比锡大学毕业之后，于1882年去到了哈勒，在一所拉丁语学校中当数学老师，1899年获得了大学授课资格，1904年成为吉森大学的数学教授。胡塞尔在哈勒大学任教这段时间（1887-1901），当时还是单身汉的格拉斯曼是他家的常客，有好些年都会在胡塞尔家中过圣诞节。[1]两人的友谊维持了一生，胡塞尔曾于1909年、11年假期前往吉森大学拜访这位老朋友。
就在1878年初离开莱比锡大学转去柏林大学之前，胡塞尔收到了格拉斯曼的一份礼物：他刚刚去世的父亲赫尔曼·君特·格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809-1877）出版于1844年、不久前刚刚再版的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre）[2]。小格拉斯曼在数学上的主要工作就是努力去推广他父亲的学说，他的1893年的博士论文主题就是“扩张论在空间曲线和曲面的一般理论中的应用”，后来的主要著作、两卷本的《射影几何学》也主要是试图通过一种更加形象的或几何的语言来重新组织扩张论。但是与他的父亲相比，小格拉斯曼在数学上的成就相差很远了。下文在直接讲格拉斯曼的时候，就是指他的父亲。
《扩张论》一书有两版。第一版出版于1844年（哈密顿在同一年提出了四元数），并在书中预告了后续的第二卷。但是，十八年之后面世的并非是预告中的第二卷，而是经过进行大量修订和补充、包括在表述方式上都有了很大变化的新版《扩张论》（1862）。学界现在习惯于按照格拉斯曼自己的说法，把1844年版简称为A1，1862年版简称为A2。
A1在出版之后在德国几乎没什么反响，出版商在三十多年后甚至曾经写信给他说：“你的《扩张论》一书已经未付印一段时间了。由于你的书几乎卖不出去，大约有600份拷贝在1864年被当做废纸处理掉了，而余下的少数零散的拷贝现在已经卖出去了，除了一份拷贝收藏在我们的图书馆里。”[3]导致这种状况的原因有诸多方面：
（1）格拉斯曼本人只是偏远小城斯特丁（Stettin，现波兰什切青）的一位中学老师，除了与莫比乌斯等少数数学家有过深入交流和探讨之外，远离当时主流的数学圈子。
（2）该书引言带有浓郁的哲学气息，或许会让数学家马上丧失兴趣，尽管他本人在前言中已经对此有意做了一些预警[4]。
（3）该书的主题相对比较前沿，涉及到向量分析、仿射几何。向量对于当时的数学家来说并不陌生，而且，用复数来表示向量也开始被当时的数学家所熟悉的。正因如此，库默尔在1847年评价A1的时候就说，该书以符号表达式来表现空间对象的位置和大小这个做法一点都不新奇，过去已经有很多不同的途径对此进行了研究，但是没有人觉得有必要从这里边开辟出一个新的数学分支来。[5]言外之意就是格拉斯曼眼界和学识太窄，而口气却很大。
向量在格拉斯曼那里被称为“扩张量”，但却是以超复数的形式出现。这样的超复数在当时显得相当另类，哈密顿在同一年提出的四元数（带有4个分量的超复数）是第一个引发轰动的超复数，并且随后在科学研究中获得了强大的应用效果。而格拉斯曼的超复数并不仅仅局限于4个分量，而是扩展到了n个分量，在形式上类似于黎曼在十年之后提出的“n维流形”，甚至两者在名称上都非常接近。黎曼在著名的1854年就职报告中所使用的“多维延量（mehrfach ausgedehnter Grösse）”，就非常类似于格拉斯曼的用语。正因如此，康托尔（Moritz Cantor）认为A1之所以一开始不被人关注，是因为这是对黎曼之后被称为流形这个概念的第一次表述，太过前沿了[6]。Roberto Torretti也指出了格拉斯曼和黎曼在术语以及思想上的惊人的一致性，不过，我们找不到任何的文本证据表明，黎曼曾读过格拉斯曼的著作。[7]Ausdehnung这个词是十分常见的词汇，用词上的相似性并不足以表明黎曼在此是受到了格拉斯曼的影响。
（4）除了主题之外，A1在术语上的高度原创性以及表述的抽象性让当时的数学家们普遍感到不适应，从而引发了灾难性的后果。高斯曾经阅读过A1，尽管他在书中找到了一些思想上的共鸣，但是同样因为格拉斯曼的术语而感到苦恼。[8]甚至与格拉斯曼交流最多、最为深入的莫比乌斯，也曾经在给友人的信件中表示：尽管他曾多次努力尝试去理解格拉斯曼的著作，但是却一直无法读下去，因为该书过于抽象、缺乏直观明晰性，而这是数学洞见的本质特征。
而对格拉斯曼造成了现实的打击，是刚才提到的库默尔的评价。格拉斯曼在1847年把A1和1846年的长篇论文“几何分析”递交给了普鲁士文化和教育部来申请大学教职，后者向库默尔征求意见。除了刚才提到的关于著作内容上的评价之外，库默尔还提到他不喜欢A1的总体结构安排，尤其批评了格拉斯曼喜欢发明新词而不使用传统术语的癖好，甚至在没有必要这么做的地方也是如此。他非常肯定地认为数学家们将会继续忽略这本著作，因为人们需要耗费太多的努力去熟悉里边的内容，而它的内容本身又不值得为之付出这么多的努力。他的总体评价是负面的：一、他的著作缺乏清晰性；二、格拉斯曼所受的教育和他的研究领域过于狭隘；三、有其他的青年数学家，他们的能力和已经达到的成就要比格拉斯曼更值得获得大学教职。[9]这个评价直接葬送了格拉斯曼去大学任教的梦想。
A2尽管与A1相隔了十六年，并且选择了以数学家更容易接受的欧几里得公理式的表述方式，但是一开始依旧反响平平。胡塞尔在1897年3月29日给纳托普的信中评价A2的时候也说，人们很难看清格拉斯曼的思想进路。[10]随后格拉斯曼重新捡起了自己早年的语言学研究。他开始收集民间歌谣，学习梵文，进行梨俱吠陀的翻译，并编写了2000页的梨俱吠陀词典，这项成就使得他成为了美国东方学协会的会员，并且在1876年由图宾根大学授予了荣誉博士头衔。他还发现了印欧语系的一个发声规律，现在被命名为格拉斯曼规律。
不过，在他去世之前的十年里，数学界终于开始逐渐认可了格拉斯曼思想的重要性。1878年再版的A1前言中也提到，汉克尔1867年的《复数系理论》首次强调了扩张论的基础性意义；然后是菲利克斯·克莱因的老师克莱布什1872年“纪念尤利乌斯·普吕克”的演讲，让格拉斯曼的名字被更多人所知道。尽管克莱布什由于白喉病在同年11月7日就去世了，不过在他指导下，施莱格尔（曾经是格拉斯曼在斯特丁中学的同事）于1872、73年出版了《根据格拉斯曼扩张论原则的空间系统》，这本书被格拉斯曼评价为是首次把握了《扩张论》的本质观念及其内部联系。[11]此外，克莱因也是较早认识并宣传格拉斯曼思想的重要人物，正是在他的倡导之下，3卷6册的格拉斯曼数学和物理学著作全集在1894-1911年间陆续出版。
因此，在胡塞尔1878年拿到这本书的时候，情况与十多年前相比已经发生了很大变化，尤其是在汉克尔任教的莱比锡大学。胡塞尔在他出版的著作以及讲座当中，提到格拉斯曼的地方并不多。《纯粹逻辑学导引》第70节解释“流形论”这个概念的时候，格拉斯曼的扩张论和黎曼的n维流形、哈密顿的四元数、李变换群、康托尔的集合论一起被作为流形论在现代数学中的例子。这是格拉斯曼在《逻辑研究》中唯一一次的出场。但是在胡塞尔早期的著作、手稿和书信当中，格拉斯曼出现的频率要更高一些。尤其是从九十年代中期开始到二十世纪初和纳托普的一系列通信当中，格拉斯曼的扩张论是他们探讨的一个主题。纳托普当时对数学的新发展及其逻辑基础问题感兴趣，曾在《系统哲学文库》第七卷上发表过一篇文章“新数学的逻辑基础”，在《康德研究》第六辑上发表过对《纯粹逻辑学导引》的书评。在《柏拉图理念论》中，他还曾经用怀特海的“泛代数”作为例子来解释柏拉图的充满争议的未成文学说“理念数”。[12]
在1897年3月29日写给纳托普的信中，胡塞尔明确提到了A2，并且说这是他所能找到的唯一一个在形式上充分的关于n维欧氏流形的表述。[13]而纳托普在4月1日的回信当中说，他在胡塞尔的建议之下开始阅读A2，并且很喜爱这本书。在信的最后他提到，对于√(-1)是否应当被看作是一个新的单位，格拉斯曼在A2中是摇摆不定的。它在计算上是简单的，但是能否把它简单地看作是绝对单位的推导，这一点格拉斯曼并不确定。[14]此外，在1901年9月7日写给纳托普的信中，胡塞尔在回忆自己1886-1892年间研究几何学、形式算术和流形论的时候，明确提到自己当时受到了高斯的复数理论以及格拉斯曼的扩张论的影响。在信的最后，胡塞尔还替小格拉斯曼向纳托普索要他的“新数学的逻辑基础”这篇文章的拷贝。[15]
二
由于一开始研究的主题是算术哲学，因此首先进入到胡塞尔评价范围的不是格拉斯曼最著名的扩张论，而是1861的《算术读本》，而且基本上是作为批判的对象出现的。胡塞尔的论述和批判涉及以下3个内容：1、关于基数和序数何者优先的问题；2、关于“相等”的定义；3、对格拉斯曼算术思想基本立场的定位：符号主义或形式主义。
在早年的一篇提纲“数系扩张的诸理论”中，胡塞尔对当时的各种数系扩张理论进行了粗略的分类和整理，其中第八类是：“形式算术。形式算术家汉克尔、格拉斯曼。”[16]此外，在1890年2月写给施通普夫的信中，胡塞尔把格拉斯曼看作是数学中的符号主义的代表人物：
那些把数解释为符号——有时带点犹豫，有时毫不迟疑——的算术学家，允许他们仅仅受到对代数形式主义的研究的引导。这些数学家（首先是格拉斯曼）通过单纯的符号定义（1+1=2，2+1=3，等等；a·a=a^2，〖（√a）〗^2=a，等等）把推演整个算术和分析算法的可能性带入到明见性当中。这促使他们把数和符号相等同。（亥姆霍兹在他的“计数和度量”第20页上完全肯定地陈述了这一点）对抽象领域的基本概念（算术应用于其上）缺乏理解随后引向了进一步地把基数、序数与量和单纯的符号等同起来。对于他们的理论中所包含的根本性的困难，这些研究者甚至都没有意识到。[17]
把格拉斯曼的立场概括为符号主义并不完全公正。在《算术读本》的前言中，格拉斯曼在论述教学法的时候指出，教师们不应当以从公式到公式的方式向学生阐述理论，符号的表述应当和概念的生成手牵手并肩而行。但是另一方面，胡塞尔的概括也是情有可原的，《算术读本》在正文的阐述过程中似乎完全偏离了前言中所说的这种教学法，行进在了对符号操作的定义以及符号推演的道路上，尤其是他本人把研究的对象叫做“被命名的数（benannte Zahl）”，并在基础序列的基础上通过数学归纳法和递归定义的方式把它们构建起来。[18]
这种处理方式及相关的一些技巧后来被皮亚诺（Giuseppe Peano，1858-1932）所吸收，后者在1888年写过一本《以格拉斯曼的扩张理论为基础的几何演算》，此书是《算术原理的新方法》中著名的自然数公理化处理的预演。这也引发了后来学界关于格拉斯曼能否被看作是公理化道路在十九世纪的先驱的争论。[19]
这些争论的根源在于，在格拉斯曼的思想当中混杂着一些在后人看来是异质的东西，而这种混杂又受到了他的哲学观尤其是辩证法的影响。在A1的前言中，格拉斯曼把数学的发展看作是内容与形式、观念和符号之间的辨证运动的过程：“因此，科学的呈现（Darstellung）依其本质来看是两条发展路径的相互交错，其中一条以融贯的方式从一个真理引向另一个真理，并构成了本真的内容，而另一条则支配着方法并因此决定着形式。在数学中，这两条路径分裂成为了尖锐对立的发展路线。”两条路线各有自己的优劣，内容路线的典型代表是欧几里得几何学的传统，其优点在于具体内容及推理上的明晰性和确定性，但是却无法从一个全局的视野来把握这些具体内容。相比而言，形式的路线尽管在全局把握上占据优势，但是对于尚未精通这些形式的人来说，这些形式会显得非常外在且带有强烈的强迫性。为此他比较欣赏“把两条道路编织在一起的法国数学家”，“他们的工作的吸引人之处正是在于，读者感到自由，且不受他必须奴隶般遵守的形式所限制”。[20]
格拉斯曼的理想也是把这两条路线在一个更高的层面综合成一个融贯的整体，观念和符号、内容和形式应当在冲突和对立的过程中最终引向更高的发展阶段。这一点在某种意义上是秉承了莱布尼茨的理念：
我对这一普遍科学的用处和实在性越来越深信不疑，我发现极少有人理解它的范围……这种文字是由某种符号或语言构成的……它们完全代表了我们观念之间的关系。这些字符将与迄今为止所想到的字符极为不同。因为人们已经忘记了一条原理，即这种文字的字符将会有助于发明和判断，就像在代数和算术中那样。这种文字将会带来巨大的好处，对我来说，其中有一点尤为重要，那就是用这些字符是写不出在我们看来荒诞不经的想法来的。一个无知的人将无法使用它，或者，通过努力学习使用它，他本人将变得博学多才。[21]
另外，胡塞尔早年对格拉斯曼所作的这些批判需要结合他当时的思想背景以及《算术哲学》的整体构想出发来进行评价。《算术哲学》的整体设想是要为包括数学分析在内各种高阶的符号演算提供了一个认识论的奠基，而第一卷则通过本真和非本真的区分而分裂成了两个部分。胡塞尔对于符号定义的方法，包括通过一一对应原则来对数进行定义的做法所进行的批判，首先是从本真的概念角度出发、即在第一部分中进行的，原因在于他们完全搁置了相关问题在认识论上的困难。但是在第二部分中，当胡塞尔开始试图去澄清符号方法的合法性时，原先在第一部分中所驳斥的很多内容，又需要重新以某种方式被确立起来。比如当胡塞尔开始着手系统数的构造时，就采取了类似于格拉斯曼的基础序列的方式；一一对应原则也需要在非本真的领域中重新被考虑，否则的话，诸如康托尔的超穷集合论这样的内容也会被完全排除在胡塞尔的思考范围之外，就像克罗内克所做的那样。
三
在1901年写给纳托普的信中，胡塞尔回顾了自己早年的研究，并提到了高斯和格拉斯曼对他的影响：
在1886-93年这段时间里，我在几何理论、形式算术和流形论上耗费了相当多的心力，这些研究的结果是我的PA的前言（参阅关于高斯关于四次剩余的报告第二部分），以及对他的论证的许多重要的沉思。由于格拉斯曼的《扩张论》和高斯的一般复数导论的影响，我也把平面理解为某种连续的双重序列，空间理解为某种连续的三重序列等等。在一般的复数（例如〖re〗^φi）当中，我试图为平面的次序关系寻找充分的算术表达，类似的，在相应的高阶复数当中为平滑的高阶流形寻找充分的算术表达。为了获得完全的明晰性和严格性，我回到了数概念当中，并且认识到，有必要在基数、连续量、离散的和连续的序数等等之间做出区分。我分析了序列概念，尤其是限定的、无限定的、开放的和环状的序列，寻求必要和充分的标准，通过这个标准，人们可以判定，一个无穷大的流形是线性有序的或环状有序的，等等。在所有这些工作当中，我也考虑了距离和方向，一个拓扑流形的基本要素。人们总是希望赋予方向以更多的原初性，因为它已经被包含在了某些非对称关系当中（右-左，高-低，一般来讲就是，如果a ρ b，b ρ’ a，以至于当a ρ b时，b ρ a不成立），这些关系是所有序列和排序的基石。[22]
在复数的普及过程中，高斯发挥着重要作用，也正是他用“复数”一词替代了原来的“虚数”。在1831和32年论数论中的双二次剩余的文章中，高斯提出，人们有必要拓展算术的领域，引入整复数a+bi，a、b∈Z。考虑到人们对复数可能有着排斥心理，高斯给出了相关的几何解释，把复数解释为平面上的点，这些点形成了我们现在所说的复平面。从此以后，人们开始习惯于把复数的运算从几何上解释为复平面上的图形的旋转和拉伸等。
在格拉斯曼那里，复数是与向量关联在一起的。向量与物理学中的力、速度或加速度等现象有关，在几何上表示为带有大小和方向的有向线段。亚里士多德就知道力可以表示成向量，两个力的组合的作用可以用著名的平行四边形法则来得到，即由两个向量a和b组成的平行四边形的对角线来给出合力的大小和方向。斯台文在静力学问题中也应用到了平行四边形法则，而在伽利略那里这个法则得到了清楚的叙述。
根据格拉斯曼自己的描述，他的扩张论研究的最初动机来自于对几何中的负数的思考：“我习惯于把位移AB和BA看成相反的量。由此可以得到：若A、B、C是直线上的三个点，则AB+BC=AC总是成立的，而不问AB、BC的方向是相同还是相反，就是说，即令C位于A、B之间时，它仍然成立。就是不能把AB和BC简单地看成长度，它们的方向也应同时考虑进来，这时它们的定向恰好相反。这样，就把长度之和与这种同时考虑了方向的位移之和区别开来了。”[23]他提到自己早在1832年就已经发展出了向量加法并形成了二阶和三阶向量。但是，直到1840年处理潮汐问题时，他才意识到了自己的这种创新性的处理几何的代数方式所带来的后果。
高斯和格拉斯曼的一个共同之处在于，他们都把这些带有几何性质的解释仅仅看作是一种直观的例证，而复数本身带有更加抽象的含义。格拉斯曼曾多次强调了这样的抽象含义：“我的扩张演算建立了空间理论的抽象基础；即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹数学的科学；只是在对[物理]空间作特殊应用时才构成几何学……扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言；它们有非常一般的重要性，因为普通几何受[物理]空间的三个维数的限制，而抽象科学则不受这个限制”；“应当能够创造出一种纯粹智力的课题，它把‘扩张’当作一种概念来研究，而不是研究感官觉察到的空间”。[24]
高斯在1831年的文章中指出，某些物理学研究的场景会促发人们去使用特殊种类的数，有些则不会。分数、负数以及复数都是如此。而复数的促发场景在于，人们所要处理的问题不是处于同一个序列当中的对象之间的相互关系，而是涉及到了两个序列之间的关系：
但是，如果我们面对的是下边这种类型的对象，它们无法被整理到一个同样无界的序列当中，而仅仅只能被整理到序列的序列（Reihen von Reihen）当中，或者换一种说法，它们组成了一个二维的流形；那么这就涉及到了一个序列与另一个序列之间的关系，或者说，涉及到了从一个序列向另一个序列过渡，过渡的方式类似于之前所说的从一个序列中的元素向同一个序列中的另一个元素的过渡方式，而这显然需要双重的度量……除了前边的单位+1和-1之外，还需要另外两个单位+i和-i。……这个系统就可以以这种方式被整理成为一个双重类型的、序列的序列。数学家完全从对象的性状和对象关系的内容当中抽象出来；他仅仅从事对关系的计数和比较的活动。[25]
在这段话中，高斯明确用“流形（Mannigfaltigkeit）”这个概念来描述由对象按照一定关系所组成的序列或系统，而流形的维度则依赖于是否涉及到不同序列之间的关系。实数是由处在同一个序列中的诸成员所形成的一维流形，而复数则涉及到两个序列所形成的二维流形。高斯的观点包括其表述方式无疑影响到了黎曼的1854年就职报告，而“流形”这个词也正是通过黎曼进入到了数学术语当中。
高斯的观点也确定无疑地影响了胡塞尔，早在《算术哲学》序言中预告第二卷的内容时，胡塞尔就明确提到他的观点来自于高斯1831年的这篇文章。[26]而《纯粹逻辑学导引》第70节对流形的解释非常类似于高斯所说的数学家“从对象的性状和对象关系的内容当中抽象出来，仅仅从事对关系的计数和比较活动”，只不过胡塞尔把这个活动描述为是“把纯粹形式纳入到更全面的形式或形式种群之中”，而且明确地把从实数到虚数的扩展看作是其中的一个例子：
这种方式的第一个、也是最简单的一个事例……就是实数领域（或者说，实数的相应理论形式，“实数的形式理论”）扩展为形式的、有了双重延伸（zweifach ausgedehnten）的普通复数领域。事实上，只有从这个见解中才能找到钥匙来解决那些始终未澄清的问题，例如，在数的领域中怎么可能在方法上像使用实在的概念一样来使用这些不可能的（无本质的）概念。[27]
前文曾提到，高斯阅读过A1，尽管由于时间和术语上的原因没能深入地读下去，他还是感受到了两人之间的相似之处，并明确提到了这个相似之处与对复数的理解有关。与高斯相比，格拉斯曼超前的地方在于，他把二分量的普通复数形式推广到了带有n个分量的超复数：由任意n个不同的单位数e1、e2、…en所组成的x1e1+x2e2+…+xnen，并把普通复数的算法规则经过修改之后推广到了这些超复数身上。
这样的推广并不容易。第一个迅速引发轰动效应的推广来自于哈密顿的四元数[28]。普通的二分量复数应用于具体科学研究时带有很大的局限性，即只能应用于同一个平面上的向量。由此人们自然会思考，处于三维空间中的向量应该以什么样的复数形式来表示，针对它们的代数运算法则又是怎样的。最直接的反应就是利用笛卡尔坐标（x，y，z）来代表从原点到该点的向量，但是人们马上发现，根本无法找到一种有效的三元数组的运算来表现向量的运算。最终经过多年研究，哈密顿发现，我们在此需要的不是三个而是四个分量，即四元数，同时还需要在算法规则中把交换律给放弃掉。
与四元数相比，格拉斯曼设想的超复数要更加一般化，同时人们也很难看到它有什么应用价值。但是对于胡塞尔来说，他在格拉斯曼的著作中看到了一个最一般的框架，能够帮助他来理解“流形”的本质。胡塞尔在《算术哲学》发表之后，其中一项研究内容就是对各种个别的流形展开研究，从最简单的一维流形开始。
在大约写于1891/92年间的手稿“集合与流形”中，胡塞尔提到了联系或关系的形式（Forms des Zusammenhanges）。质料与形式的区分进一步应用到了“关系”身上。
形式总是与质料相对而言的，人们从质料中抽象出来，从而获得了形式。但是，在“关系”中，这种抽象可以有两种情况。一种是从关系项的质料中抽象出来，比如“a在b的前面”、“a和b是相似的”。我们抽象掉了a和b的具体内容，从而获得了“…在…的前面”这个关系。这样的关系经常被称为“形式的”。但是，在胡塞尔看来，在关系当中依旧可以包含有质料与形式之分，因此可以继续进行抽象。我们用φ来表示一类关系，它们满足“a φ b=b φ a”这个条件，例如，算术中加法关系“a+b=b+a”，或者“a和b是相似的”；但是，还有一些关系，它们并不满足这个条件，而是相反，“a φ b≠b φ a”，比如刚才所说的“…在…的前面”这个关系，或者“a<b”这个关系。就此而言，“a φ b=b φ a”是包含在加法关系“a+b=b+a”、相似关系等等这一类关系中的形式部分，“a φ b≠b φ a”是包含“…在…的前面”这个关系中的形式部分。为此胡塞尔说，在最严格的意义上，“元素和关系的特性都算作质料”。[29]
当我们从元素的质料中抽象出来，且进一步地从关系（包括量的关系）的质料中抽象出来的时候，就进入到了流形的领域。这些领域仅仅由某些形式关系来得到界定，从而形成个别的流形。在手稿“集合与流形”中，胡塞尔研究了两种简单的一维流形，一种是“直向流形（orthoide Mannigfaltigkeit）”，另一种是“环状流形（zyklische Mannigfaltigkeit）”。
皮尔士的学生Gilman于1891年在Mind杂志上发表了一篇文章“论一个一维流形的属性”，给出了一个简单的一维流形的例子。[30]在同一期杂志上还有一个简短的《算术哲学》第一卷的出版告示：《算术哲学》“或许对于那些关心认识论的人来讲有着特别的兴趣。我们希望在第二卷出版之后（作者承诺将会很快面世），来给出一个更加充实的告示。”Gilman的这篇文章给胡塞尔带来了一定的困扰，因为它是胡塞尔对一维流形的看法的一个预演。胡塞尔对此的反应是对环状流形进行相似的研究，并继续探讨那些更加复杂的流形。格拉斯曼的超复数提供了一个视角来综观和比较所有这些个别的流形。他在1897年给纳托普的信中说：“我只找到一个在形式上充分的关于n维欧氏流形的表述：格拉斯曼1862年的《扩张论》（不是1844年的）。”[31]
胡塞尔之所以特意提到不是A1而是A2，原因在于，A1在阐述的过程中没有考虑度量的内容，而A2为了让读者更容易接受，采用了欧氏几何的表述方式，同时也加入了度量的考虑，由此才能成为欧氏流形。对此克莱因曾总结道：“本书研究对象是n个变元x1，x2，……，xn（非齐次的）的连续统，即一个Rn。《扩张论》的第一版是从仿射几何学的角度来考虑这个Rn的；所以格拉斯曼称它为‘线性（lineale）’的扩张论。第二版中则加进了量√(x_1^2+x_2^2+⋯+x_n^2 )。所以也就带进了度量的考虑。目的是把通常的欧几里得几何学推广到Rn。”[32]
四
扩张论和四元数在随后的传播过程中遭遇到了类似的命运：在它们周围聚集起了一群狂热的信徒，形成了一些狂热的小圈子和流派，以至于彼此之间相互攻击。对于扩张论而言，由于格拉斯曼长期以来被人们所忽视，还因此带上了殉道者的悲情光环。不过，近来的一些研究表明，格拉斯曼的“悲剧”有被夸大的嫌疑。在十九世纪六十年代，其思想就已经在哥廷根、耶拿等地得到小范围的传播和讨论。耶拿的物理学家恩斯特·阿贝最晚在1861年已经开始研究A1，并把格拉斯曼推荐给了自己的朋友圈，包括弗雷格。[33]而到了七十年代，我们甚至可以说他已经名声不小，一个例子就是克莱因1872年的《埃尔朗根纲领》曾几次提及格拉斯曼。
而在去世之后，格拉斯曼思想的传播与影响则更加快速和广泛。通过克利福德、吉布斯、亥维赛、皮亚诺、外尔等人的工作，线性代数成为一门成熟的学科。而在哲学界，格拉斯曼的思想也得到了胡塞尔、卡西尔等人的赏识。
因此，格拉斯曼去世之前所写下的愿景，在其去世后不久就已基本实现：
我仍然完全确信，我花在这本书上的劳力，占据了我的一生的很大一部分，消耗了我极为艰辛的努力，这不会是白费的。我确实知道，我所贡献给科学的东西，形式尚不完全，也不可能完全。但是我知道，而且感到有必要申明（虽然这有过于傲慢的危险），即令这本书再等十七年甚至更长时间，不为人们所用，未曾进入科学的实际发展，然而这样的时刻终会到来：那时它会脱离尘封，那些沉睡的思想也会结出果实。我知道，如果我仍然未能在我身边聚集起一群学者（直到现在我在这方面只是徒劳），与他们共享这些思想的成果，激励他们把这些思想进一步发展与丰富起来，然而这样的时刻终会到来，那时，这些思想，说不定会以新的形式重新出现，进入与当代的发展的互相交流之中。因为真理是永恒神圣的，它的任何一个阶段都不会不留踪迹；哪怕我们这些生人所穿的衣服已经化为尘土，真理仍然是永存的。[34]
注释：
[1]见胡塞尔夫妇1897年12月25日写给Gustav Albrecht的信。Husserl, Edmund. Husserliana Dokumente, Band III, Briefwechsel, Teil 9, Familienbriefe. Dordrecht: Springer Science+Business Media. 1994. S. 11.
[2] 1844年版的《扩张论》全称为《扩张量的科学或扩张论：一个新的数学分支。第一卷：线性扩张论》（Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehungslehre, ein neuer mathematische Disciplin, die lineale Ausdehnungslehre）。
[3] Prasolov, Viktor. Problems and Theorems in Linear Algebra. Providence: American Mathematical Society. 1994. p. 45.
[4]在A1第一版前言中，格拉斯曼曾特意说明了导言试图从一个更加哲学化的视角来呈现该书主题的性质，他把这个部分和主体内容分离开来，就是为了数学家们不会因为它的哲学形式而吓坏了。他说，数学家大多对于数学和物理主题的哲学讨论感到厌恶。他还特别点名了黑格尔及其学派，他们观点的模糊性和任意性，会让这样的讨论变得混乱和无效。人们在阅读时可以跳过哲学化的导言部分删掉，而不会影响对于正文内容的理解。（Grassmann, Hermann. A New Branch of Mathematics, The Ausdehnungslehre of 1844, and Other Works, trans. Lloyd C. Kannenberg. Chicago: Open Court Publishing Company. 1995. p. 15-16.）
[5] Petsche, Hans-Joachim. Hermann Graßmann: Biography, trans. Mark Minnes. Basel: Birkhäuser. 2006. p. 44.
[6] Hans-Joachim Petsche, op. cit., p. 37
[7] Torretti, Roberto. Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company. 1984. p. 108-109.
[8]格拉斯曼曾经给高斯寄了一份A1的拷贝，后者在1844年12月14日回了一封信：“我从一大堆任务中抽出时间来阅读了你的著作，我想我意识到，你的著作的总体趋向和我差不多在半个世纪之前就已经走上的道路之间存在着某些相似之处。我的这个研究只有一小部分发表在1831年的评论文章和哥廷根学术通报上。它本质上是关于复数的形而上学，关于这一点，我在自己的许多讲座当中都有谈过，但是仅仅是给出了相关的一些例子，只有一双良好训练的眼睛才能辨认出问题的本质。尽管如此，在我们之间似乎只有一个遥远的和部分的相似之处。我意识到，如果我要想真正理解你的著作的本质内容，我得首先让自己去熟悉你的独特的术语。但是这样我就不得不停下其他的工作，而我已经不想再继续等待，以感谢你寄给我你的著作……”。（Hans-Joachim Petsche, Hermann Graßmann: Biography, p. 38.）
[9] Hans-Joachim Petsche, op. cit., p. 44-45.
[10] Husserl, Edmund. Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901). The Hague: Martinus Nijhoff Publishers. 1983. S. 392.
[11] Hermann Grassmann, A New Branch of Mathematics, The Ausdehnungslehre of 1844, and Other Works, p. 20.
[12]纳托普认为，柏拉图晚年对理念论的进一步发展并提出理念数的推动力在于：“无论如何都必须进一步推到理念本身的多样性”；他把理念数解释为“一种关于质的数学”，与关于量的数学相对照。质即概念的规定性，“把质之间的诸逻辑关系之形式性的一面……带入一种数学的形态中、让它隶属于数学的方法，这就是在柏拉图眼前所浮现的那种完全配得上其知识性的远见和深度的理念。”（纳托普：《柏拉图的理念学说》（下册），溥林译，北京：商务印书馆，2018年，第798页。）
[13] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 391.
[14] Edmund Husserl, Husserliana Dokumente, Band III, Briefwechsel, Teil 5, Die Neukantianer, S. 64-69.
[15] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 401.
[16] Husserl, Edmund. Philosophie der Arithmetik: mit Ergänzenden Texten (1890-1901). The Hague: Martinus Nijhoff. 1970. S. 253.
[17] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 244-245.
[18]在《算术基础》中，弗雷格也曾批评过格拉斯曼的符号定义方法，认为这里存在着一个恶性循环，被定义项重复出现在定义项当中：“格拉斯曼要通过一条定义得到a+(b+1)=(a+b)+1这条定律，他说：‘如果a和b是基本序列的任意项，人们就把a+b之和理解为基本序列的一个项，对这个项来说，a+(b+e)=a+b+e这个公式是有效的。’这里，e应该意谓正单位。对这种解释可以有两种反对意见。首先，和是通过自身被解释的。如果人们还不知道a+b应该意谓什么，人们也就不理解a+(b+e)这个表达式。但是，如果人们与本文相悖地说，应该解释的不是和，而是加法，以此也许可以排除这种反对意见。而在这种情况下，依然能够反对说，如果没有基本序列的项或所要求的那些项，a+b就会是一个空符号。格拉斯曼只是假设不发生这种情况，而没有予以证明，因此严格性只是表面的。”（弗雷格：《算术基础》，王路译，北京：商务印书馆，2005年，第18页）弗雷格这个批判的背景是在讨论数公式是否可证明这个问题时提出来的。在这个问题的基本立场上，弗雷格认为格拉斯曼是和他处在同一立场上，即可以证明。只不过他认为格拉斯曼的证明方法是无法让人接受的。与之相对的则是康德派的观点，2+3=5这样的句子是不可证明的。不可证明在弗雷格看来是和“综合”同义的，与之相对，可证明则意谓着是“分析的”。
[19]王浩认为，尽管格拉斯曼的算术路径是“第一次严肃的且是相当成功的尝试把算术放置在一个或多或少的公理基础之上”，但是他得出的结论仍旧是，“格拉斯曼并没有以公理化的形式来呈现他的发展”。（Hao, Wang. “The axiomatization of arithmetic”. Journal of Symbolic Logic 22(2). 1957. p. 147）Mircea Radu把学界在相关问题上的看法大致分成了三类：Gottfried Martin、Michael Otte、Hans-Niels Jahnke、Judson Webb、Arno Zaddach等人认为，格拉斯曼的一般方法论信条以及由他们所发展起来的某些数学技巧，是新的公理化精神出现的一个主要资源。这种公理化的精神一般认为在希尔伯特那里有着完整而明确的表述。王浩、Jean Cavaillès、Jean Dieudonné、Michel Guillaume、Albert Lewis、Jean-Luc Dorier、Hans-Joachim Petsche则持相反的观点。在他们看来，尽管许多概念和技巧随后被整合到了对算术的公理化处理和抽象的向量空间的公理化表述中，但是格拉斯曼在数学基础上的路径在整体上看是与公理化相对立的。Abraham Robinson、Michael Crowe、Donald Gillies、Hans Wussing、Paul Shields、Volker Peckhaus等人则更多的考虑格拉斯曼对于公理化运动的间接影响。（Radu, Mircea. “Axiomatics and self-reference: Reflections about Hermann Grassmann’s Contribution to Axiomatics”. In From Past to Future: Graßmann’s Work in Context, ed. Hans-Joachim Petsche, Albert C. Lewis, Jörg Liesen, Steve Russ. Basel: Birkhäuser. 2011. p. 101-103.）
[20] Hermann Grassmann, A New Branch of Mathematics, The Ausdehnungslehre of 1844, and Other Works, p. 32. 类似的观点也体现在了他在1840年左右处理潮汐问题时，对拉普拉斯的解析几何处理方式的评价：“拉普拉斯几乎没有告诉我们，他是用何种方法得出他所给出的结果的；尤其首要的是，所有这些都是如此的间接，以至于人们甚至无法了解他是如何获得这个或那个方法的。因此，如果有人想要追寻他的道路，他会感觉到自己是被蒙着双眼带向一个未知之地，他不知道自己会到达一个什么样的地方，即便他是自己一步步地走向他的目的地的……我放弃了传统的方法，因为根据这个方法，坐标系的引入强制性的扭曲了自然。把我们的眼睛从它身上移开，而把我们的注意力放在了公式的变换和发展上，和我们的原初目标没有关系。”（Grassmann, Hermann. Hermann Grassmanns Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke. Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teunbner. 1911. S. 11.）
[21]马丁·戴维斯：《逻辑的引擎》，张卜天译，长沙：湖南科学技术出版社，2007年，第16页。
[22] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 396.
[23] Hermann Grassmann, A New Branch of Mathematics, The Ausdehnungslehre of 1844, and Other Works, p. 9. 译文引自：F·克莱因：《数学在19世纪的发展》（第一卷），齐民友译，北京：高等教育出版社，2010年，第148页，注释33。
[24]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第三册），邓东皋、张恭庆译，上海：上海科学技术出版社，2014年，第191页。
[25] Ferreirós, José. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel: Birkhäuser. 2007. p. 43-44.
[26] Edmund Husserl, Philosophie der Arithmetik: mit Ergänzenden Texten (1890-1901), S. 8.
[27]胡塞尔：《逻辑研究》（第一卷），倪梁康译，北京：商务印书馆，2015年，第248-249页。译文有改动。
[28]与德国本土的冷淡反映相比，英国的数学家反而更早地注意到了格拉斯曼的扩张论。哈密顿在1853年1月写给德摩根的信中说：“我最近读了100多页格拉斯曼的扩张论，带着极大的钦佩和兴趣。我先前对这本书只有非常少量的了解，并想着为了读这本书，我是否还得先去学抽烟。如果我能够设想自己一方面和笛卡尔，另一方面和格拉斯曼展开竞争，我的科学野心就会得到实现！”不过，在更加仔细地阅读了扩张论，发现格拉斯曼没有发现四元数之后，他的兴趣就开始减弱了。“格拉斯曼是一位伟大的德国天才；他的空间观至少和我的时间观一样新颖和广博；但是他并没有预见或认识到四元数。”在1853年的“四元数讲义”中，他还表达了对格拉斯曼的科学成就的钦佩，不过格拉斯曼没有看到过这本书。略带讽刺的是，汉克尔正是通过“四元数讲义”的介绍才开始去关注格拉斯曼。（Hans-Joachim Petsche, Hermann Graßmann: Biography, p. 73-74.）
[29] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 94-95.
[30] Gilman的文章是通过两个命题来描述一个一维流形。第一个命题：任何东西与任何东西的关系要么是r’且并非cr’，要么是cr’且并非r’。r’是一个关系，而cr’则是该关系的逆关系。第二个命题则表达了r的传递性。由这两个命题所界定的一维流形是一个有序集。在文章继续讨论了有序集的一些进一步的属性，如最大与最小元素等。Gilman还指出，一维流形可以被称为一个“序列”。作为一维流形的例子，他提到了“时间、一维空间或直线、量、强度、数和音高”。（Hartimo, Mirja. “Towards completeness: Husserl on theories of manifolds 1890-1901”. Synthese 156. 2007. p. 294-295.）
[31] Edmund Husserl, Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), S. 391.
[32]F·克莱因：《数学在19世纪的发展》（第一卷），第145页。
[33] Petsche, Hans-Joachim. “Ernst Abbe’s reception of Grassmann in the light of Grassmann’s reception of Schleiermacher”. In From Past to Future: Graßmann’s Work in Context, p.161.
[34] F·克莱因：《数学在19世纪的发展》（第一卷），第144页。
编辑：杨铮
初审：吴嘉豪
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