游里工夫独造微——小平邦彦传（下）

日本第二位菲尔兹奖得主广中平佑（Hironaka Heisuke，1931- ）在日本新泻市参观一家一百多年前的豪富之家时，看到书法家山冈铁舟写的毛笔字“游里工夫独造微”，印象深刻。过后，他觉得用这一句来描绘小平邦彦这位人物最恰当不过。

本文既是日本大数学家小平邦彦的传记，也是战后日本数理学界的群传。从中或许可以一窥日本一跃成为世界性数理强国的秘密，其中有不少值得我国数学界和理论物理学界借鉴、学习的地方。

上篇请见《游里工夫独造微——小平邦彦传（上）》。

本文曾于2001年发表于台湾《数学传播》25卷1期。获颜一清教授家属授权转载。

转载来源 | 赛先生

撰文 | 颜一清

编辑 | 秋水

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东京大学方面在1951年把小平从物理系助理教授升为数学系教授，可是当年4月小平辞掉了东大的差使。1951年6月中旬小平从巴尔的摩回到普林斯顿来。这回他已经负担得起家人的生活费用了，便在6月底让太太从日本带两个小女儿过来——长女康子（Yasuko）在1947年5月出生，次女Mariko在小平来美后出生。

高研所携眷的短期研究员住在研究所旁边的六排宿舍里。这些房舍以前矿工们使用过，叫做monkey houses，相当简陋。但是比起东京烧迹上造就的陋屋要好得多。小平也分到一间。小平太太好感动可以买到大块牛肉。宿舍边的森林里可以采到野草莓，有时候还会有鹿出现，让孩子们好乐。

小平在家里的工作地点是餐桌，他一向喜欢在那儿做事。小平花了60元美金买到一座低半音而无法调整的钢琴，太太买到10美元的小提琴，便常常和附近的几位数学家凑合，演奏室内乐。

高级研究所后院有冯•诺伊曼（von Neumann）的研究室。他用一万四千个真空管做成的第一代电脑占去研究室的一半。它的性能当然远不及现在的电脑，不过冯•诺伊曼的卓见是值得敬佩的。

1952年9月开始，因斯潘塞（Spencer）的介绍，小平也到普林斯顿大学教书。大学是前半年，教一门课，高研所是后半年，这样的情形持续了5年。当时普林斯顿大学数学系系主任是所罗门•莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）。他本来是工程师，因事故失去两手后才成为数学家。他懂许多事，连日本的事也懂得不少。小平夫妇参加普林斯顿大学数学系初次宴会时，Lefschetz瞧他们夫妇半天，说出来的第一句话便是：“夫人比先生高哦！” 在Lefschetz当系主任期间他很照顾小平。

当时担任日本学习院（日本战败前专为皇胄贵族设立的学校）院长的安培能成来普林斯顿，想见见爱因斯坦，谈谈世界和平的问题。他总算见到了爱因斯坦，据说爱因斯坦对世界和平抱着非常悲观的态度。

在斯潘塞提议之下小平与斯潘塞等人开始做束（sheaf）的研讨。起先小平只觉得“束”这个东西既抽象，又奇怪。直到1953年春天才发觉它真好用。有一天小平照常跟斯潘塞吃午餐时讨论数学。结果发现用束可以简单地证明出塞维里（Severi）的猜想，即两种算术亏格（arithmetic genera）会相等。这是1949年Severi在给意大利学派做代数几何演讲时提出的，并说证明大概很难，就像远方的星星般遥不可及。就这样，小平与斯潘塞合写了《有关代数流形的算术亏格》。他们逐渐发现“束”在代数流形与复流形上极为好用。他们两个人应用“束”在各类问题上写出了几篇论文。

将黎曼（Riemann）面上最重要的定理Riemann-Roch定理推广到高维，是当时复流形理论的中心问题。它在1953年秋天被Hirzebruch解决了。看来复流形的一般理论告了一段落。

1952、1953、1954年是小平出论文最丰盛的时期。他一年中差不多写出100页的论文来。1954年的国际数学家大会在荷兰的阿姆斯特丹举行。小平本来想偷懒不参加，但是Weyl透过斯潘塞告知小平他是这回菲尔兹奖得主之一（其实得奖的名单是不预先公布的）。

小平与太太Sei于是在八月中旬从纽约出发，先观光意大利，在瑞士拜访了Weyl的府上。到了阿姆斯特丹，要去会场途中小平迷路了，想起旅游导览说：在荷兰，连狗都听得懂英语。于是小平就问附近的一家蔬菜店，店里的一个小伙子用英语教他怎么走。

那回的菲尔兹奖由小平与J. P. Serre（塞尔）获得。各人得金章与1500元美金，由菲尔兹奖评审委员会主席Weyl颁奖并详述得奖人的工作。小平在会场演讲《有关代数几何学的超越理论中的几个结果》，Serre演讲《上同调与代数几何学》。

►Weyl将菲尔兹奖授予小平邦彦。（图片来源：日本数学会）

会后荷兰女王在离宫的御花园宴请与会的主要人物。Serre不经心抽起烟来。过后他说：“这个烟蒂该怎么办？”小平建议他：“藏在小石子下面吧。”Serre便笑着说：“就像猫那样？” 

1955年3月15日大家在高研所的餐厅吃中餐时有人说：“今天是小平40岁的生日。”外耳这个人心直口快，话无法收在心底。他便说：“依我看，数学家的成就到35岁，你要赶紧加油啊（you’d better hurry）！”过后大概觉得说过了头，又加上：“也有例外，你可能是个例外。”又，小平要给外耳调和张量场的论文预印本时外耳说：“我可能古板（I may be old fashioned），不过总觉得我写的正交射影法不好。你把论文改写成不用正交射影法才好。”诸如此类。

其实外耳是二十世纪最后一位领域广阔的大数学家，他的研究范围遍及数学、物理及哲学。

同年4月18日1点15分爱因斯坦去世。死因是动脉瘤破裂。遗体当天下午移去火葬场，由跟他有亲交的十数人聚集在一起，其中一人（编注：此人为Einstein的遗嘱执行人Otto Natan）朗诵歌德的诗中一节。遗体火葬，骨灰撒在某不知名的地方。他去世的消息在研究所里只是大家的茶后余谈而已。

复流形的一般理论解决后小平就想，这回该看看复流形的结构吧。他开始做的是二维紧致复流形的研究。早在1952年他就跟周炜良证明出有两个代数独立（meromorphically independent）的有理函数（编注：原文如此。事实上我们只能先验地要求这两个函数为亚纯（meromorphic）函数，其有理性是周炜良的另一条定理的推论。）的曲面必为代数曲面。再来他便想：只有一个代数独立的有理函数的曲面该是什么呢？在1956年他看到井草准一（Igusa Junichi，1924-2013）的猜想：“紧致复流形由代数流形与复环面（complex torus）组合而成”。小平想，如果它是真的，那么具有单一代数独立有理函数的曲面便是椭圆曲面啰。

以此为契机，小平开始做椭圆曲面的研究。他把古典椭圆函数论套上去用，得到一系列巧妙、有趣的结果来。这便是他的椭圆曲面论。他把这个发现过程以夏目漱石的著作《梦十夜》中工匠运庆雕刻仁王（哼哈二将）像的一节来做比喻：“运庆在一寸高处横刻粗眉后就把凿齿转直，斜斜地从上面打下锤子把坚硬的木头削掉。随着锤子声厚厚的木屑跳起来，而留下的木头浮现出仁王膨张鼻翼的怒相侧面来。他刀子的下法毫不犹疑，一点都不参杂疑念的样子。我太感动了，像自语般地说：‘真有办法，那么不在乎地用凿子，就能刻出自己要的眉、鼻来！’结果先前在旁边的年轻人说：‘那不是刻出眉、鼻来，而是有这么样的眉、鼻埋在木头里面，他只是用凿子和锤子的力量把它们挖出来罢了。就像从土中挖出石头那般，错不了。’” 

小平说：“我的椭圆曲面论其实不是我想出来的，它本来就埋在‘数学’这种木头里面。我只不过是借着纸和笔的力量把‘椭圆曲面论’挖掘出来而已。这是我当时真正的感觉。” 

《梦十夜》这一节的下文是：“我这才想到雕刻原来只是那么样简单！那谁都会啊。于是我也想刻出仁王像来。回家后我把堆积在后院的木柴一根一根拿起来雕刻看看。但是，很不巧，每一块木头里面都找不到仁王像来。终于我了悟到原来明治时代的木头里面并没有埋着仁王像这个事实来。” 

“紧致复流形是由有限个坐标邻域贴合而成。它的复结构的形变不过是把贴合的方式改变而已。”这是小平与斯潘塞共同研究复结构的形变理论的基本想法。

令紧致复流形为M，复流形对于时间t形变的速度可用上同调群H1(M, θ)表示，θ为M上的正则向量场的“束”。令M的亏格为m，则m，H1(M, θ)间应有密切关系。计算几个例子的结果，m=dimH1(M, θ)。想找反例来去掉这个巧合，但都找不到。那么就证明它是对的吧，却很不容易。就这样，在尝试中他们逐渐发展出形变理论来。

作这个研究的过程很有趣。每天跟斯潘塞见面，上街吃午餐后又回大学讨论形变理论，查看具体例子，这相当于物理学上的实验。形变理论的开端其实是实验科学。由于小平不开车，到普林斯顿大学都由斯潘塞接送。回程时他们一路上的讨论往往还没有结束，他们便坐在车内继续谈。所以小平的邻居们都认得斯潘塞这个人。

说来小平与斯潘塞不只是研究上的伙伴，他们在个性上还是相辅的。小平少话又害羞，斯潘塞却有个火爆脾气。在系里各种运作上斯潘塞用他的方式来保护小平，使小平能够发挥他的潜能。

在日本，小平在美国的数学成就很受到重视。1957年他被授与学士院奖，由他母亲代领。同年秋天小平看报才知道自已获得文化勋章（由日本天皇授予在文化、学术上有杰出表现人士的勋章）。这一次不能由别人代领，宫内省派人把勋章送到家里来。小平的父母亲为儿子得到这个殊荣好高兴，还宴请亲友们表示庆贺。

有一天一伙数学家到普林斯顿郊外餐厅吃晚餐。长方桌边坐了二十来名数学家。斯潘塞与小平坐在一起，便谈起数学的话来。结果普林斯顿长老教授之一的费勒（Feller）嘲讽地说：“他们两个人很少见面，所以一见到面就谈数学谈个没完。”斯潘塞吃了一惊，说：“不知道我们受人注目。”坐在斯潘塞旁边的高研所的A. Borel教授说：“吃醋呀！他怕你们在谈话中又会写出一篇新论文来。不是么？”小平与斯潘塞这才知道，他们成为长老教授们嫉妒的对象。

在美国，教授的薪水是一个秘密。有一回小平与布兰迪斯大学（Brandeis University）的教授松阪辉久（Matsusaka Teruhisa，1926-2006）谈起薪水的事。松阪听小平的薪水后说：“你才拿那么些？普林斯顿大学这个地方好糟哦！”这才知道自从Lefschetz辞去系主任后小平不讨长老教授们喜欢。

►Donald C. Spencer（斯潘塞）是小平最重要的合作者。他有一个得意的学生Phillip Griffiths，继承并发展了他和小平在超越代数几何领域的工作。（图片来源：Diffiety Institute）

1961年Zariski邀请小平去哈佛大学教了一年。在那里隔周在Zariski家有男人们的聚会。客人有广中平祐、克罗滕迪克（Grothendieck）、泰特（Tate）、芒福德（Mumford）和M. 阿廷（M. Artin）等人。大家边喝酒边谈数学，由晚上9点多持续到12点多。当年冬天广中平祐解决了多年未决的代数流形上奇点的消解问题。

1962年约翰·霍普金斯大学的数学系系主任周炜良教授以年薪18000美元要聘请小平。普林斯顿大学方面商量过是否提出更高薪留住他？后来作罢。斯潘塞非常气愤普林斯顿大学不留小平，便提出辞呈，一年后转去斯坦福大学。

1964年8月间，小平去斯坦福跟斯潘塞过，9月又回巴尔的摩。当年10月初斯坦福大学数学系系主任Gilbarg邀请小平从65年度起到斯坦福。虽然对不起周炜良教授一再的照顾，但是小平很想跟斯潘塞就近在一起，也就打算转到斯坦福大学。同年10月中旬新任普林斯顿大学数学系系主任John Milnor（当年34岁）来巴尔的摩找小平，请他回普林斯顿，并为当年没有留住他表示歉意。但是小平赴斯坦福的决心已决。

1965年小平家搬到斯坦福，它是一个大学城，气候冬暖夏凉，非常宜人。这年小平的大女儿康子高中毕业，她同时申请到加州大学伯克利分校与日本国际基督教大学。她说她既然是日本人，要回日本看看，就回去读国际基督教大学。结果她的谈吐举止被认为太古板了。比如，她问：“茅厕在那里？”同学们笑她说：“不要用那武士般奇怪的话好不好？”原来厕所她们如今叫做“o–toilete”。前面的o（御）是敬语，toilete是法语的厕所。不过有些访美的日本人会对小平说：“府上的小姐比日本的女孩子更日本化呢。” 

同年小平被选为日本学士院会员（相当于台湾的中央研究院院士）。

1966年夏小平为参加国际会议与斯潘塞一同回日，待了一个半月。结果东京大学的人一再来邀请小平回去教书，小平终于答应1967年回日本。回国的好处是小平可以在他的母校东大教到许多好学生，而他大女儿的话“爸爸，您在日本会比较快乐”促成了他回日本的决定。

在斯坦福第二年小平的年薪已经是24000美元（等于教九个月课的薪水），年收入（年薪加学校补贴三个月的薪水，等于年薪×4/3）有32000美元。日本人一向不屑开口讲钱，所以小平没有问待遇，回去的条件是不管杂事，不做什么“长”。

小平被美国各名校争取去教学，除了他研究工作做得很好以外，教书也有他的特色。1955-56年Atiyah在普林斯顿高研所当研究员。他描述过小平讲课的情形：“前排坐着一些年轻一代的几何学家，如Hirzebruch，Serre，Bott，Singer等人。前排常是拥挤的，因为小平的声音近于耳语。幸好他写得很清楚，写得又慢。说来他的讲义是完美无瑕的。”斯潘塞的学生J. J. Kohn也修过小平的课。他说小平讲课的内容引人入胜，又能激发学生的思考。不过在美国，小平指导的学生只有W. L. Baily Jr（普林斯顿），A. Kas 和J. Wavrik（从约翰·霍普金斯跟随小平到斯坦福）与J. Morrow（斯坦福）四名而已。

在小平回日前二十来名数学家在斯坦福集会，他们决定把他们的论文做成专集（“Global Analysis”，1969年出版）献给小平。编辑者是弥永昌吉与斯潘塞。执笔者有小平在普林斯顿的老朋友，新生代的代数几何学家及小平的学生们。过后小平回想起来，他待在美国的那十八年正是美国的升平时期，物价平稳，治安好。以后那样的“好日子不再”了。

在美期间小平太太是先生的专用司机，小平一直都没有练过开车。  

►回到东京大学后的小平邦彦，摄于1969年（图片来源：Oberwolfach Photo Collection）

1967年8月中旬小平一家人回日本。日本各大报都刊登他回来的好消息。小平回日本后出任东大数学系教授，教四年级及研究所的课。那里的学生很优秀。有些学生的硕士论文可比美美国的博士论文。Hirzebruch来日时小平给他看上野健尔（Ueno Kenji，1945- ）的论文。Hirzebruch说，它有三篇博士论文的份量。

又，小平在东大数学系时的老同学河田敬义主持复流形讨论班，每周六从下午1时开始至3时止。河田说：“小平，你每周来坐着就好了。”讨论班前后持续了近二十年，每回都有新的研究发表。小平也提出了几个未解决的问题，如：第VII 类曲面的第2 Betti 数是否为0等他关心的问题。结果这些问题大半都被参与者在数年内解决了。

1968年，东大大闹学潮，它像流行病般蔓延到全日本。学生们骂老师是“专家傻瓜”。在师生沟通意见时小平答学生们：“不是专家傻瓜的人是纯然的傻瓜”，这句话倒变出名了。

三年后的1971年11月4日教授会议时在小平缺席之下他被选为理学院院长。小平大吃一惊。本来回国的条件中有不当什么“长”的。但是当选者从来没有辞却的先例，只好就任。这样下来开会多，可是没有什么决定权，只有附议权。

1972年3月中旬有庆贺斯潘塞六十大寿的Symposium（古希腊语：酒宴，宴会）。小平带家人去普林斯顿（斯潘塞又回普林斯顿大学）两个月。那时候普林斯顿的治安已经恶化了，门、抽屉都要上锁。

在这期间小平也去过约翰·霍普金斯大学参加谈话会。当晚的宴会中遇到Evans院长。当年他劝过小平不要去斯坦福大学。Evans看到小平，来握手说：“我不能相信你当了院长。”宴罢要回去时他又过来握手说：“我还是不能相信你当了院长。（I still can’t believe you are a dean. ）” 这是他观察小平一个晚上后下的结论。这表示他比东大的教授们更有眼光，知道小平不适合当院长。

理学院院长的任期到1973年11月8日。由于实在疲于应付工作，小平得到教授会的首肯，提前在当年4月1日卸任。但是当院长的压力确也停止住了小平一向有的充沛的研究创意。

两年后（1975年）小平从东大退休。在退休前一年的秋天依照惯例在谈话会中有一场演讲。高木贞治当年讲的是 “回顾与展望”，小平觉得他没有能力展望数学的将来，就讲成 “回顾与…”。 “…” 的部份他说：“进步的形式应该都是一致的。进步典型的例子便是生物的进化。3、4亿年前鱼类中比较幼稚的进化成两栖类。在透明的水域中潇潇洒洒游着的鱼的子孙仍然是鱼，而幼稚形态的鱼类进化成两栖类；幼稚形态的两栖类进化成爬虫类等等。而幼稚形态的猿猴进化成人类。数学也是一样。在某一领域的进步不是来自最前端的，而是由它最基本的部份发展出来。例如，平面几何学两千年来一直在进步，但是解析几何学不是由平面几何学的最前端产生，而是由最基本的部份发展出来。我们研究数学时会决定某一个专门的方向。如果在它最前端处研究，可以得到新颖的结果，但是不会有多大的突破。而在泥沼、黑暗中摸索、寻觅，可能可以得到意想不到的结果来。”

1975年3月中有庆贺小平还历（60大寿）的会议。从美国有斯潘塞与小平最早的研究生、芝加哥大学的Baily教授来参加。在Baily的回忆里当年小平讲课讲到得意处眼睛会闪闪发光。他还会带着害臊的微笑，并露出一付很享受研究乐趣的神情来。

小平一向对别人的工作表示关心与尊重，他会倾听对方说的话，并给迂回式的建议。他讲话温和，不会咄咄逼人。在小平回日本前就有笹仓颂夫（SasakuraNobuo，1945- ）、河井壮一（Kawai Soichi，1939- ）等人顺着小平的研究方向作研究。在1968至1974年，小平教出的优秀数学人材就有上野健尔、井上政久 （Inoue Masahisa，1946- ）等15名。

小平退休后成为东大的荣誉教授。他认为以前的荣誉教授有威严，他自觉无法达到那个境界，便请教别人给他秘传。结果数学家山内恭彦写明信片给他说：“悒忧自惕。世纪末的荣誉教授无法悠悠自适。”（前四字与后四字在日文上同音。）

小平在美国待了18年，想法多少变成美国式的。在美国聘请人时会先讲好给多少薪水。东大要求小平回去时薪水的事只字不提。小平总以为他可以得到一般人的待遇。没想到他的薪水比别人少得多。在日本薪水要算年资，而小平在美的年资并不算进去。过了年，到了一月他才以特别升级方式得到与别人一样的薪水。而退休金日本人有年金与退职金。小平的退休金退职金部份美国的年资是算进去了，但是年金只算他在日本的7年份，只领到一点点钱。拿到这样的退休金小平好泄气。朋友们知道后给他当顾问什么的，让他增加一些收入。

这一年（1975年）他被授予藤原奖（日本藤原科学财团所设，一年给一名（后两名）科学领域上有杰出成就者），原由是1957年小平得文化勋章以来一直有杰出表现，如写出复解析曲面理论与复结构形变理论等。

从东大退休后当年4月小平去学习院大学教书。学校从家里走路25分钟可到达。当时的学习院大学理学院院长是小平念物理系时的同学木下是雄，便请他开立证明不当院长之类的职务。

教了学习院大学小平才知道学生的数学能力逐年下降。据说其他学科也是一样。看着学生的学习能力越来越差而无能为力，他会觉得是件憾事。教了10年后小平在1985年3月底从学习院大学退休下来。

同年5月小平与汉斯•卢伊（Hans Lewy）同时被授予沃尔夫奖，它等于肯定他们终生贡献的一种奖，由沃尔夫财团（Wolf Foundation）给与。沃尔夫奖每年授给数名科学（数学、物理、化学、医学和农学）家与艺术家。授与对象不论他们的国藉、人种、宗教与性别，只论他们是否事迹显著，并对人类福址（Welfare）有所贡献。

Richard Wolf（1887-1981）是生在德国汉诺威的化学家，第一次世界大战时移居古巴。他研究从溶矿炉中的残渣回收铁分近20年而终于成功。这个方法后来被全世界使用，他因而致富。1961年他被古巴卡斯特罗政权派往以色列任大使，一直到1973年两国断交为止。过后他留在以色列至去世。他投入他的财产成立沃尔夫财团，而它从1978年开始设奖。

小平带大女儿康子去以色列领沃尔夫奖。康子看到另一位得奖者Lewy（80岁高龄）说：“您看起来很健康哦！” Lewy回答：“大家都这么说。” 他的健康法是散步与弹琴。他的琴艺大概很好，因为他一度想成为音乐家。但被他父亲说：“要当就要当一流的！” 这才作罢。他只自己弹，不听别人的演奏，因为早年听过名家的演奏，一直记得那种琴音，而现今的钢琴家的弹法不对味。

1982年12月6日，小平被请去参加日本教育审议会开会。小平对当前的教育很有意见。依他的看法，现今大学生素质的低落该从小学教育检讨起。小学课程太早加入社会科和理科是不对的。小学低年级该加强的是国语与算术。而中学该重视的是基础教育，不要一窝蜂流行什么新式教育（小平的长女在普林斯顿就身受其害）。如今不再教欧几里德几何学，因而也失去它所带来的数学逻辑的训练。这是一种大错误与大损失。至于大学生的程度低落问题，它应该跟入学考试的出题与考试方式很有关系。小平认为数学的初等教育是培养学生数学式的思考力与感性，而不是给他们强塞各种领域的片断知识。

教育当局并没有全听进去小平的建言，倒是删掉中学数学教科书中的 “初级集合论”。小平的反应便是写了一些中学数学教科书，以便增进日本的数学教育。

1983年ICM（国际数学家大会）90筹备委员会成立。会议时预计将有3千多名数学家聚在一起，会期有10天，会议中颁发菲尔兹奖，其他还有一些社交活动。这些都会引起全世界的注目。所以开会的筹备工作很要紧。开会地点决定在京都国立京都国际会馆。运作的责任体系却很难建立起来。为了能够让日本数学家们同心协力合作，大家强请众人所尊崇的小平邦彦为ICM营运委员会主席。这回小平竟答应下来这个为筹措开会基金费心的事。

数学界和企业界人士敬佩小平的名望与为人，捐得大方。数学家捐款者有1300人，总额为日币4000万元。企业界的捐款数目超出ICM 86的美国企业界的捐款数额。但是签发谢函等细碎的工作让小平气喘的毛病加重，健康情形显著衰退。等到ICM开会时他已经无法亲身到会场了。

ICM 90的参与者有4000人以上。京都大学的森重文（Mori Sigebumi，1951-）得菲尔兹奖，距离小平得奖有36年。

小平的两位小姐长得爽朗、可爱。如小平的学生Baily有一回造访小平的家，刚问小平：“大小姐几岁了？”结果当事人从窗口伸出小手来，叫道：“七岁呀！”

长女康子学钢琴，次女Mariko学小提琴，在美国她们都受名师指导（学费并不贵）。一家人时而演奏自娱。小平的悲观与自卑感因贤慧的太太和温馨、和乐的家庭而得以抚平。

►晚年的小平夫妇（图片来源：日本数学会）

小平在普林斯顿、纽约、波士顿等地听了不少音乐演奏，他也会看电影。他自称他是懒惰的数学家。有一回小平在Life的自然图书馆里看到一段记载，说中南美洲的树懒（日文叫做懒惰者）是古代megatherium（编者注：大地懒）唯一的后代。这种动物悬挂在树上一动不动，以至于身上长出藓苔来而与植物毫无分别。它就这样成功地存活下来。看后小平感动得大叫：“这才是我所要的理想境界！” 

小平创造了“数觉”这个名词。他说了解数学是看出数学的现象来。这种 “看”不是用眼睛，而是凭某种感觉来意会的。他叫这种意会数学的感觉为 “数觉”。有 “数觉” 的人念起数学来就得心应手得多。

小平邦彦在数学上的贡献主要是在代数几何学方面：有二维Riemann-Roch定理的证明，Severi算术亏格猜想的证明，解析束的理论，上同调消没定理，小平–Serre对偶定理（duality theorem），Hodge 流形为射影流形的证明，复结构的形变理论，复解析曲面的分类与结构理论，椭圆曲面的结构理论，一般性曲面的结构理论与高维Nevanlinna理论等。

小平说他的遭遇是一连串命运的偶然：“如果我没有写那毫无发表指望的调和张量场的论文，即使写了，如果没有角谷静夫托驻日美军军人把论文送到美国，我就没有机会去普林斯顿。又，到了普林斯顿后如果没有遇到斯潘塞，我的研究工作就无法进展得那么顺利。数学研究是用脑筋想的。研究时总觉得自己自主地在行动。但是回想起来，我自已毕竟只是被命运支配着罢了。我不过是随着命运之流做了数学世界的流浪之旅而已。”这便是小平邦彦对自己所有成就的结语。

小平邦彦于1997年7月26日过世，享年82岁4个月余。他的葬礼没有宗教仪式，灵柩上放着日皇送的花，旁边环绕着花簇。在他最喜爱的肖邦的乐曲中，参加葬礼的数百人各自献上了一朵白色康乃馨给逝者。（全文完）

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