丘维声：如何培养学生科学地思考

丘维声和乐数学

本文摘自《锤炼数学思维紧跟时代步伐——访数学科学学院丘维声教授》，标题为编者所加。

采访记者：郭九岺、王肖群；2008年3月16日

来自《教学的魅力——北大名师访谈录》

二、什么是数学的思维方式

记者：丘老师从教30年，您觉得数学教学中最重要的是什么?

丘老师：30年在北大，加上在良乡中学的8年，我觉得教数学最重要的就是引导学生科学地思考，让学生接受数学思维方式的熏陶。这也是我这么多年教学的一个关键点。为什么说这个是最关键的呢？由于数学的概念和定理比较抽象，论证需要进行逻辑推理，步步有根据，因此学生可能会觉得比较难学。如果在教学中一开始就讲抽象的概念和定理，一则学生比较难以听懂，二则会影响学生以后的创造性。如果让学生习惯于老!给他东西，而不习惯于自己去思考，就不利于他在以后的工作中己提出一些想法。在数学里，一些重要概念的提出，本身就是创新的起点，像牛顿，莱布尼茨提出的导数和微分的概念，这些概念的出本身就是数学创新的最重要的起点。可是，我们传统的教学方总是先把概念直接告诉学生，久而久之，学生就不具备这种意识会知道如何去提出一些问题。

所以，从培养学生创新意识的角度来看，教学主要是培养学生科学地思考，通过观察生活中的例子或者是数学本身的例子来提出问题，然后再启发学生自然而然引出一个基本概念。让学生明白概念是自然而然提出来的，不是从天上掉下来的，也不是从数学家脑子里蹦出来的。这样就让学生经历了一个思考的过程，而不是把知识直接端给学生。这有利于学生创新意识、创新能力的培养，也鼓励了学生自己去琢磨、思考、研究一些问题。

记者：您能举个例子具体说明一下这样的教学过程吗？

丘老师：好，我就举个有理系数多项式因式分解的例子。因式分解在初中就讲过，是一个很难的问题，初中课程只能采用尝试分解的办法，大学就不能这样讲了。对有理系数多项式，首先需要对其是否可分解进行判定。如果一个次数大于0的有理系数多项式的因式只有有理数和这个多项式的有理数倍，那么称它为不可约多项式；否则，称它为可约的。一个不可约多项式就不能再分解成两个次数较低的多项式的乘积。如何判定一个有理系数多项式是否不可约呢？思路是什么呢？我在讲课时首先举了一个有理系数多项式的例子，把它的各项系数的分母的最小公倍数作为分母，提出一个分数，使得括号内的多项式的各项系数都为整数，并且把这些整数的公因数也提出去，这时括号内的多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1，这种整系数多项式称为本原多项式。这就自然而然地引出了本原多项式的概念。一个有理系数多项式是否不可约与相应的本原多项式是否不可约是一致的，这样我们就找到了思路：去研究本原多项式是否不可约。为此需要探索本原多项式的性质。

由于本原多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1，因此直觉判断两个本原多项式如果能互相整除，那么它们只相差一个正负号；然后证明这一猜测是正确的。由于因式分解涉及到乘法，因此自然要问：两个本原多项式的乘积是否还是本原多项式？这在直观上不容易看出。可以尝试假如两个本原多项式的乘积不是本原多项式，去进行逻辑推理，得出矛盾，因此两个本原多项式的乘积一定是本原多项式。这样自然而然地得出了高斯引理。想寻找本原多项式不可约的充分条件，这犹如大海捞针。我们可以反过来思考：从一个本原多项式可约能够推出什么样的结论？从不可约多项式的定义可以得出：如果一个次数大于0的本原多项式可约，那么它可以分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积。从高斯引理我们可以进一步直觉判断它可以分解成两个次数较低的本原多项式的乘积。经过证明，这个猜测是正确的。由于本原多项式的各项系数的最大公因数只有1和-1，因此任何一个素数都不能整除它的各项系数。

为了从一个本原多项式可约推出进一步的结论，我们考虑这样一种情形：对于一个次数大于0的本原多项式，存在一个素数 .它能够整除首项系数以外的其他各项系数，但是不能整除首项系数。如果可约，那么它可以分解成两个次数较低的本原多项式的乘积。由此经过逻辑推理，得出的平方能够整除的常数项。因此对于这样的本原多项式，如果的平方不能整除常数项，那么就不可约。这自然而然地得出了本原多项式不可约的充分条件，即存在一个素数满足上述三个条件。这就是著名的Bienstein判别法。传统的讲法是直接把Eisenstein判别法叙述出来，然后给予证明。那种讲法，学生对于素数为什么要满足三个条件不太理解，尤其是对于的平方不能整除常数项这个条件往往记不住，我们的讲法不仅使同学们对于素数满足的三个条件印象很深刻，且知道了Eisenstein 判别法是怎么来的，受到了数学思维方式的熏陶。

记者：丘老师提到数学教学中最重要的是让学生接受到数学思维方式的熏陶，您能对数学的思维方式进行一下总结和概括吗? 丘老师：我觉得数学思维方式要经过以下几个环节：

第一是观察，需要观察客观现象，不要一上来就给概念。

第二是抓住主要特征抽象出概念或立模型。

第三是探索，运用直觉判断，以及类比归纳、联想和推理，进行探索，产生一些想法。

这些想法就形成了猜想，所以第四就是形成猜想，这个猜想是真是假，必须进行论证。

第五个环节是论证，这要进行深入分析，逻辑推理和计算。最后揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复杂的客观现象变得井然有序。

学生经过这种数学思维方式的熏陶，以后出去工作，即使不再搞数学，他也明白如何来思考问题。

我在加州大学伯克利分校访问的时候,发现美国的学生爱问问题,爱问为什么。我们国家的学生解题的能力很强,但是到了研究生生阶段,创新能力往往不如美国的研究生。为什么数学中的许多猜想是外国人提出来,中国人跟着去证明呢？为什么中国人自己不像提出猜想呢？因为我们从中学到大学,习惯于定理是由教材和教则直接告诉的,不太讲定理是怎样探索出来的,没有进行探索的训缘。就不能提出什么问题。这个探索性思维方式的形成不是一朝一夕的,而是需要在我们的教育过程中,从初中、高中到大学一点点經受数学思维方式的熏陶。这样才能慢慢习惯于经过自己的思考再给出结论。这样即使以后不搞数学了,即使过了几十年,只要曾毁过数学思维方式的熏陶,就会遵循观察、抽象、探索、猜想、论证这个思维过程,这样对于学生来说不管以后从事什么工作都是有好心的。我们有很多毕业生,包括我同辈的同学出去工作后回来聚会都觉得数学的逻辑思维方式对他们思考问题的帮助很大,使他们终生受益。