来自古希腊毕达哥拉斯学派，一道考察思维的好题（19年10月31日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1012天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

相传这类题最早来自古希腊，

是毕达哥拉斯学派从游戏中提炼出的题目，

详细讲解后小学4年级学生可以听懂。

题目（4星难度）：

桌子上有两堆小石子，每次操作从小石子数量较多的一堆中，拿出一部分小石子放入另一堆，使原本数量较少的一堆中小石子数变为原来的2倍。经过9999次操作后，左边的一堆中有4块小石子，右边的一堆中有14块小石子。请问最初左边一堆可能有多少块小石子？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

如果只有一次操作，

可以采用倒推的方法。

但经过9999次操作，

面对这么大的数字只能寻找周期规律。

很多培训机构只告诉学生要寻找规律，

却很少说明规律是如何产生的，

这让很多人知其然不知其所以然，

对数学产生误解认为奥数只是背套路，

忽视了奥数对思维的培养。

今天我们重点讲解规律产生的原因，

其中需要用到鸽笼原理，

即n+1只鸽子放进n个笼子，

一定有一个笼子中不少于2只鸽子。

总的解题思路是:

先考虑操作过程是否会出现周期；

再寻找周期规律；

最后根据周期规律得到答案。

步骤1：

先思考第一个问题，

操作过程是否会出现周期规律？

两堆小石子的数量总和是18不变，

从第1次操作以后，

两堆小石子数量都是偶数，

只需考虑左边小石子数量即可。

为保证操作能够进行9999次，

左边一堆的小石子不是0或18个，

故左边小石子只有8种可能，

即2到16的全部偶数。

由于每次操作都会发生数量变化，

把每次操作后的数量看作鸽子，

把2到16的8个偶数看作鸽笼，

根据鸽笼原理可得，

操作9次的过程中，

一定有两次操作后数量相同。

注意到每次操作只与当前数量有关，

因此操作过程一定会出现周期规律，

且周期出现不超过9次操作。

步骤2：

再思考第二个问题，

倒推周期出现的规律。

第9999次操作后，

左右两堆小石子是4块和14块；

由于9998次操作后是两个偶数，

故第9998次操作后，

左右两堆小石子是2块和16块；

第9997次操作后，

左右两堆小石子是10块和8块；

第9996次操作后，

左右两堆小石子是14块和4块；

第9995次操作后，

左右两堆小石子是16块和2块；

第9994次操作后，

左右两堆小石子是8块和10块；

第9993次操作后，

左右两堆小石子是4块和14块。

此时小石子数出现了重复，

由于9999-9993=6，

因此每6次操作后，

一定会出现重复的周期规律。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

由于9999=1666*6+3，

根据步骤2中得到的周期规律，

第3次与第9999次操作后结果相同，

第2次与第9998次操作后结果相同，

第1次与第9997次操作后结果相同。

故第1次操作后，

左右两堆小石子是10块和8块。

第一次操作可能有两种情况：

一种是左边放入右边4块，

此时左边原本有14块小石子；

另一种是右边放入左边5块，

此时左边原本有5块小石子。

所以原题目的答案是14或5。

思考题（3星难度）：

桌子上有两堆小石子，每次操作从小石子数量较多的一堆中，拿出一部分小石子放入另一堆，使原本数量较少的一堆中小石子数变为原来的2倍。小明经过18次操作后，左边的一堆中有4块小石子，右边的一堆中有12块小石子。小红说小明操作过程中一定有失误。请问小红说的正确吗？

微信回复“20191031”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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