寓教于乐：一个适合与孩子玩的数学游戏（19年12月7日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1048天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

是一道源于古希腊的经典趣味数学题，

详细讲解后小学4年级学生能听懂。

题目（4星难度）：

桌子上从左到右有4堆扑克牌，从左到右扑克牌数量依次是11、12、13和14张。每次操作都随意从其中3堆中各拿出一张扑克牌，放入另外一堆中。经过若干次操作后，4堆扑克牌数量可能是10、10、10、20吗？

辅导方法：

找50张扑克牌分成4堆，

让孩子实际操作一下，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解，

既能形成深刻的映像，

又能在游戏中提高孩子对数学的兴趣。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明可能达到要求的数量，

只需要构造出一种满足条件的操作方法；

要说明不能达到要求的数量，

需要给出严格的证明。

以往我们多次强调，

这类题目大多是选择严格证明，

这道题也不例外。

在每一次操作的过程中，

由于其中3堆是任意选的，

故应该寻找每次操作过程中的不变量。

本题中选择除以4的余数做突破口。

总的解题思路是：

先考虑每次操作前后，

4堆扑克牌数量除以4的余数有何变化；

再判断能否得到要求的数量。

步骤1：

先思考第一个问题，

每一次操作前后，

4堆扑克牌数量除以4的余数有何变化？

操作之前数量为11、12、13和14，

除以4的余数是3、0、1、2，

操作的方法有四种可能，

对此分别进行讨论：

第一种，放牌进入第1堆，

操作后除以4的余数是2、3、0、1；

第二种，放牌进入第2堆，

操作后除以4的余数是2、3、0、1；

第三种，放牌进入第3堆，

操作后除以4的余数是2、3、0、1；

第四种，放牌进入第4堆，

操作后除以4的余数是2、3、0、1。

可以看出不管哪种操作，

除以4的余数都是2、3、0、1。

这是因为一个数加上3或者减去1后，

除以4的余数都是相同的。

故经过若干次操作后，

4堆扑克牌的数量除以4的余数分别为：

(3,0,1,2)——>(2,3,0,1)——>(1,2,3,0)

——>(0,1,2,3)——>(3,0,1,2)。

规律是余数呈现一个周期循环。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目的答案。

10、10、10、20除以4之后，

余数分别是2、2、2、0。

根据步骤1的结论，

这种余数分布不可能得到。

所以经过任意次操作后，

扑克牌数量都不可能是10、10、10、20。

思考题（3星难度）：

桌子上从左到右有3堆扑克牌，从左到右扑克牌数量依次是9、10和17张。每次操作都随意从其中2堆中各拿出一张扑克牌，放入另外一堆中。最少经过多少次操作后，扑克牌数量是3、10和23张?

微信回复“20191207”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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