来自北京大学自主招生,一道考察思维的好题（19年12月21日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1062天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

来自北京大学2009年自主招生考试，

详细讲解后初中1年级学生能听懂。

题目（4星难度）：

某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上

为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题,

由于平均值1000/333更靠近3道，

故从直觉上就感觉优秀的人不多。

解题的方法有很多种，

既可以采用极端构造问题的方法，

构造极端条件来说明结论；

也可以采取不等式的方法严格说明。

采用第一种方法时很难说清楚，

容易出现表述不清的情况，

从而让阅卷人误解产生丢分。

今天我们采用不等式的方法解题。

假设不及格的人数为x，

优秀的人数为y，

中间的人数为z。

总的解题思路是：

先考虑x与y之间的不等式关系，

再通过讨论得到x与y之间的大小。

步骤1：

先思考第一个问题，

考虑x与y之间的不等式关系。

先考虑总得分，

由于优秀的人每人最少答对6道，

故优秀的人共答对题目不少于6y道，

类似有中间的人共答对题目不少于4z道，

而不及格的人共答对题目不少于0道，

故6y+4z<=1000,

化简即3y+2z<= 500。

接着由总人数可得x+y+z=333，

即z=333-x-y，代入上面不等式：

得到3y+666-2x-2y<= 500，

化简得：y+166<= 2x。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目得答案。

在步骤1的基础上继续思考，

对x与166的大小关系分类讨论：

第一种情况，当x大于166时，

x最小是167，由于x+y不大于333，

故y一定不大于166，

这种情况显然有x>y；

第二种情况，当x<=166时，

步骤1的不等式即y-x <= x-166,

此时有x-166 <=0,

故y-x <= x-166<= 0,即x >= y。

因此对上面两种情况都有x >= y。

下面我们将说明x可能等于y：

如果有166个人每人做对6道题，

且有166个人每人做对0道题，

且有1个人做对4道题，

则此时x=y。

所以不及格的人数不少于优秀的人数。

思考题（2星难度）：

某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，4道或5道为及格，6道及以上为优秀。问及格的人数和优秀的人数相比哪个多？

微信回复“20191221”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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