郭津嵩：撒馬爾干的中國曆法——耶律楚材的“西征庚午元曆”及其“里差”法考辨
提要
耶律楚材在隨成吉思汗西征途中作成“西征庚午元曆”，設立名爲“里差”的地方時改正。“里差”並非來源於西方地理經度，而是由耶律楚材通過觀測月食，估計時間、空間差異，獨立構擬的一個簡單模型，體現了一種在天文學測算中自覺關注地理差異的新意識。耶律楚材在金大明曆的基礎上改作成庚午元曆，意在回應西征進程中的地理形勢變化和中亞伊斯蘭天文學的挑戰，維護漢地天文學在蒙古政權下的地位。庚午元曆及大明曆的浮沈，展現了在蒙古擴張的特殊歷史背景中知識的變動以及知識人的處境和抉擇。
作者簡介
郭津嵩，北京大學歷史學系博士後。曾先後就讀於南京大學天文學系、北京大學歷史學系和普林斯頓大學東亞系及科學史專業。研究方向爲中國古代科學技術史和政治文化史。
耶律楚材不但是大蒙古國時期的名臣，同時也是當時重要的天文學家。他扈從成吉思汗西征，行至撒馬爾干，在那裏作成一部名爲“西征庚午元曆”（以下簡稱“庚午元曆”）的曆法，以期“備行宫之用”。庚午元曆在形式和主體内容上延續漢地天文學傳統，卻將地理基準點設在遠在中亞腹地的撒馬爾干。耶律楚材在何種背景下作成這部曆法，有何目的，又得到了怎樣的結果，對於科學史、中西交通史和蒙元早期的文化史都是饒有意味的話題。
一般認爲，庚午元曆的主要貢獻是在天象時刻的推算中首次引入了地方時改正，耶律楚材稱之爲“里差”。學者推斷“里差”是耶律楚材通過接觸伊斯蘭天文學、地理學，吸收地理經度概念而提出的，將其看作蒙元時期西方科學向中國傳播的一個主要例證。但實際上，“里差”雖然是在中西天文學相接觸的背景下提出的，其概念、數值與地理經度並無直接關係。在澄清“里差”成立基礎的同時，本文嘗試在史料的異同中辨析歷史場景，從政治情勢和文化認同的角度解釋耶律楚材製作庚午元曆的動機和意義。
一
“里差”與地理經度關係辨證
公元1219年夏，成吉思汗率師親征花刺子模，耶律楚材在扈從之列。耶律楚材此前一年纔剛剛被“徵詣行在”，雖然成吉思汗“處之左右”，但其地位應該是比較低微的。[1]此時耶律楚材在蒙古政權中的職責，用他自己的話説，一是“蓍龜之任”，即行占卜、辨災祥；一是“備員翰墨”，即處理漢文文書。[2]此外也兼從事於天文曆法。耶律楚材在《進西征庚午元曆表》（以下簡稱《進曆表》）中自稱“待罪清台”，王國維以西漢用以雜候天象的上林清台釋之，又引《湛然居士集》中“愧春官”、“典南訛”等語相印證，甚是。成吉思汗時期並没有專門的天文官，但“雖無其名，實有其職”，而耶律楚材正是這方面事務的一個主要負責人。[3]
1220年春，蒙古軍攻占花拉子模的新都撒馬爾干（耶律楚材稱之爲“尋斯干”）。[4]耶律楚材即於該年在撒馬爾干作成庚午元曆。《進曆表》云：“今演記窮元，得積年二千二十七萬五千二百七十歲，命庚辰。” [5]檢《元史·曆志五》載庚午元曆曆經云：“演紀上元庚午，距太祖庚辰歲，積年二千二十七萬二百七十，算外。” [6]則《表》文之“今”，正是“太祖庚辰歲”，亦即1220年。“演記”當作“演紀” ；[7]“命庚辰”當作“命庚午”，涉制曆之年而訛，“命”爲從該年起算之意。《元朝名臣事略·中書耶律文正王》亦據張都《燕居叢談》繫造庚午元曆事於庚辰。[8]又，《進曆表》引述了庚辰年二月朔和五月朔、望在撒馬爾干觀測月相和月食的情況，再無此後的天象信息，則曆法之作成似應在五月望（當地時間6月17日）之後不久。[9]不過，《進曆表》同時又有“五載有奇，徒曠蓍龜之任”等語，王國維蓋據此繫表文於耶律楚材“詣行在”五年後的壬午歲（1222）。[10]按，成吉思汗在庚辰年夏秋之際轉往那黑沙不一帶，[11]而耶律楚材並未隨行，或許因此遲至壬午年成吉思汗返回撒馬爾干駐冬時，纔有機會正式將寫定的全部曆書“隨表上進”。但庚午元曆之初成，仍應在庚辰年無疑。
關於此一時期蒙古所用的曆法，趙拱《蒙韃備録》云：“其俗以草青爲一歲，人有問其歲，則曰幾草矣。亦嘗問彼生月日，笑而答曰：‘初不知之，亦不能知其春與秋也。每見月圓爲一月，見青草遲遲，方知是年有閏月也。’”[12]以其僅具非常粗略的紀年月之法。但是，根據學者對《蒙古秘史》的分析，蒙古政權在1200年前後已經逐漸開始使用漢式曆法。[13]《元史·曆志一》述蒙元一代曆法沿革，首云“元初承用金大明曆”，其次纔説到庚午元曆，則在成吉思汗西征時，大概已將大明曆作為某種意義上的官方曆法了。[14]這一點也可以從耶律楚材《進曆表》的表述中得到印證。應該注意的是，此時蒙古政權尚未建立對境内臣民頒曆的制度，大明曆的使用範圍可能僅限於宫廷和上層軍政事務。大明曆最初由楊級創製，於金太宗天會五年（1127）頒行。在世宗時由趙知微對此曆進行了局部改訂，但保留其日法，維持其主體結構，因而在一定意義上仍可視爲同一曆法，也沿用同一名稱。[15]但爲了加以區别，文獻中有時將經趙知微改訂之大明曆，亦即爲蒙元政權沿用者，稱爲“重修大明曆”。以下爲求簡便，在不引起歧義時，仍徑稱其爲“大明曆”。
庚午元曆在很大程度上保留了大明曆的主體内容。如果取《金史》《元史》所載兩部曆法的曆經相對照，會發現二者的大部分條目幾乎一字不差。《進曆表》謂庚午元曆“損節氣之分，減周天之杪（秒），去文終之率，治月轉之餘”，其實只是對大明曆的周天分（恒星年）、歲差、轉終分（進點月）、交終分（交點月）等少數幾個常數做了微調。除了這幾處數據以及曆元的改動之外，最大的變化是增加了一種名爲“里差”的算法。
庚午元曆曆經在“步氣朔術”的“求朔弦望中日”條下首次引入“里差”：
以尋斯干城爲準，置相去地里，以四千三百五十九乘之，退位，萬約爲分，曰里差。以加減經朔弦望小餘，滿與不足，進退大餘，即中朔弦望日及餘。（原注：“以東加之，以西減之。”）[16]
這裏給出的“里差”系數是4359，但經過“退位，萬約爲分”，則化爲0.04359。庚午元曆的日法爲5230，即把一日等分爲5230份。所謂“小餘”，是以1/5230日爲單位表示的天象時刻在整數日之外的奇零部分。所謂“大餘”，則對應整數日。如果把上述關係用現代算式表示，則可寫作
相去里數×0.04359÷5230=里差（以日爲單位）。……(1)
可以看出，“里差”是一種地方時改正，它表示的是東西向地理位置差異所導致的天象時刻的不同。“里差”之名蓋得自《周髀》“千里差一寸”之説。[17]“千里差一寸”意謂南北向每隔一千里，以標準八尺圭表測得的日影長度相差一寸。雖然在南北朝隋唐時代被實測結果所否定，“千里差一寸”作爲一種傳統觀點，仍有很大的影響。[18]“里差”繼承了“千里差一寸”以天象觀測的地理差異與直綫距離之間成簡單比例的思路，這與以球形大地和角距離爲基礎的西方地理經度概念有顯著的不同。
但是，數十年來，科學史的研究都將“里差”與地理經度概念相聯繫，認爲它是伊斯蘭天文學、地理學知識影響下的産物。早在20世紀60年代，薄樹人就提出庚午元曆“引入了樸素的地球經度的概念”，推測耶律楚材“接受中亞細亞人所知道的地球經度的思想而加以中國化了”。[19]日本學者藪内清也有類似的論述。[20]此後，厲國清、劉金沂、裔培榮三位學者對“里差”的研究徑以《我國地理經度概念的提出》爲題。他們認爲文化交流“加速”了地理經度概念在中國的産生，但没有明確地提出耶律楚材從中亞獲得了相關知識。他們發現耶律楚材給出的“里差”系數偏小，推斷是當時“難以把大明曆本身誤差和地理經度差引起的系統誤差很好地分離開”所致。[21]陳久金的《回回天文學史》將“里差”解釋爲“位於不同經度所發生的時間差”，認爲它可能受到了“阿拉伯人的地球觀念的啓發”。對“里差”偏小的問題，陳久金推測是由對大明曆的誤差和東西里程兩者都估計偏大而造成的。[22]最值得注意的則是孫小淳於1998年發表的《從“里差”看地球、地理經度概念之傳入中國》一文。此文將“里差”的偏小全部歸爲對於地理距離的高估，並試圖找出此種高估與托勒密地理經度在數值上的關聯，從而坐實“里差”出自伊斯蘭知識的判斷。[23]其結論得到了中外學者的認可，[24]産生了較大影響，故有必要對其論證稍做辨析。
《進曆表》中引述的庚辰年五月望月食，是耶律楚材构造“里差”的主要實測依據。孫小淳的論證也是由此次月食入手。他推測説，這可能是歷史上“最早的用月食測定經度的記録”。但實際上古代西方很早就有這樣的記録。托勒密的《地理學》曾引述在阿貝拉（Arbela，今伊拉克境内）和迦太基（Carthage，今突尼斯境内）兩地觀測公元前331年9月20日月食的記録，並得出兩處的時差爲3小時，相當於經度相差45°。[25]中世紀伊斯蘭地理學中也有用月食測定經度的例子。[26]相比之下，耶律楚材所處理的東西跨度更大，但他的方法並不是比較兩處地點的觀測，而是比較一地的觀測與以另一地爲基準的天文推算。
《進曆表》云：
庚辰，聖駕西征，駐蹕尋斯干城。是歲五月之望，以大明，太陰當虧二分，食甚子正，時在宵中。是夜候之，未盡初更，月已食矣。[27]
首先應該指出，根據現代天文學的推算，庚辰年五月望的月食是一次食分爲0.9449的半影月食。[28]古代和中世紀世界的各主要天文學傳統都缺乏可以確證的半影月食實測記録。[29]《進曆表》明確地描述了實際觀測此次月食的情況，很可能是目前所知世界歷史上半影月食實測最早的確鑿記録。
耶律楚材謂用大明曆算得的月食食甚時刻爲“子正”。孫小淳將“子正”理解爲夜半，並估計五月在撒馬爾干從“未盡初更”到夜半爲十二刻，約2.9小時。再除去初虧到食甚的時間（取一刻），估計推算與觀測的食甚時間差爲2.6小時。他認爲，這就是耶律楚材所測定的從撒馬爾干到開封的“里差”。將其代入上文所列出的“里差”與相去里數的關係，可求出2.6小時對應距離12981里。[30]而兩地在撒馬爾干緯度上東西向的實際距離應爲4003公里，孫小淳估計相當於9077元里。兩數相較，“里差”所對應的里數是實際距離的約1.4倍。接着，孫小淳設法估計托勒密地理學傳統中從中亞到中國的經度差。他從托勒密傳統的地圖中選取中亞的Baktra和位於中國的Sēra，估計兩地經度爲115°和180°，求得經度差爲65°。而撒馬爾干到開封的實際經度差爲47°。兩數相較，比例大約也是1.4。孫小淳認爲，托勒密地理學和耶律楚材的“里差”法，都是對距離估計過大，且比例相同，不是偶然，而是反映了“里差”和經度之間“有着内在聯繫”。他强調，在缺乏知識傳播的直接證據時，“從科學思想和概念比較的角度提出論據，也是非常有意義的”，進而總結説：“耶律楚材的里差概念，是宋、元時期西方科學知識傳入中國並發生影響的一個例子。”
上述論證方法可謂巧妙，結論也頗具吸引力，但是仔細推敲的話，卻能發現其中存在一些可以商榷的地方。其核心論據由兩個方面構成，即耶律楚材所估計的撒馬爾干到中國的里數距離是多少，以及托勒密地理傳統中的兩地經度距離又是多少。里數距離暫不詳論，先看經度距離的問題。托勒密《地理學》中其實直接提到了撒馬爾干，只不過稱之爲Marakanda，經度爲121°。[31]孫小淳選取的Baktra（即漢文文獻中的“大夏”）的位置更偏西，在《地理學》中的經度爲116°（孫小淳取爲115°）。[32]他對托勒密傳統中中國的位置，又定得過於偏東了一些。《地理學》中明確地説，全部已知陸地的經度範圍，從“福島”（Islands of the Blest，即托勒密所設定的本初經綫所在）到中國（Sēres），共 °（孫小淳取爲180°）。[33]綜合這兩個因素來看，孫小淳把托勒密地理學中撒馬爾干到中國的經度距離數值高估了近9°。更重要的是，儘管伊斯蘭學者推崇托勒密，但他們對歐亞大陸東部地理的認識，早已不再依賴其著作。取而代之的是最初在阿拔斯王朝早期的哈里發馬蒙（al-Mamūn，786-833）支持下發展的“馬蒙地理學”（Mamūn geography）。活躍於馬蒙治下的著名數學家花剌子密（al-Khwārizmī，約780-850）將中國的經度定爲162°。[34]這比托勒密給出的數值要小得多。假使耶律楚材曾接觸到伊斯蘭知識中的兩地經度距離，其數值也應該明顯小於65°。而他所估計的里數距離，其實卻比12981里還要大得多（詳下）。因此，兩種距離按照相似比例誇大的設想絶難成立。
退一步説，即便兩種距離在數值上表現出相似的特徵，耶律楚材真的能從經度距離出發求得里數距離嗎？假如要完成兩者之間的换算，他必須理解基於地球概念的經度涵義，而且還要懂一些球面幾何。然而没有任何證據表明他掌握了這些在漢地傳統中所没有的知識。況且，古人認識地理距離的主要辦法是通過行程來估計，在東、西方皆然。托勒密地理學和馬蒙地理學中的許多經度位置信息，就是先通過旅行者報告的里程估算東西距離，再在一定的理論框架下轉换爲經度值。耶律楚材跟隨蒙古軍隊，親身從中國行至中亞，自應對兩地的距離有所認識。無論這個認識準確與否，在他的立場上，都不需要再從别的資料出發反過來推算兩地距離。總之，認爲“里差”在理念或數值上來源於地理經度的看法是站不住腳的。
二
“里差”内涵與意義的再認識
相去里數×0.04359÷5230×24=里差（以小時爲單位）。
合併系數，則可寫作
相去里數×0.000200030592734=里差（以小時爲單位）。……(2)
在(2)式中，如果設相去里數爲10000里，很容易得出對應的里差爲2小時整（小數部分只相當於約1.08秒，可以忽略不計），也就是古代十二時制中的一時。所以，“里差”法的基本設定，其實就是東西距離一萬里對應時差一時。
此一數值關係，在時人記述中也有反映。《元朝名臣事略·中書耶律文正王》引張都《燕居叢談》云：
庚辰歲，公在尋斯干城，當五月望，以大明曆考之，太陰當虧二分，食甚子正，時在宵中。是夜候之，未盡初更而月已蝕矣。蓋大明之子正，中國之子正也；西域之初更，西域之初更也。西域之初更未盡時，焉知不爲中國之子正乎！隔以萬里之遠，遞遲一時，復何疑哉？[35]
此處對庚辰歲五月望月食的描述與今本《進曆表》略同，“隔以萬里之遠，遞遲一時”等語雖不見於今本，但卻準確地概括了“里差”的真意。按，《元朝名臣事略》前文引述《進曆表》，即據《燕居叢談》，而有今本所無之語，則張都所見之表文或較今本更詳。由是言之，“隔以萬里之遠，遞遲一時”可能也是耶律楚材的原話。
東西距離一萬里對應時差一時的觀點，直到明末仍有影響。活躍於崇禎時期的喬中和在所著《説易》卷十二“日度”條中説：
日影千里一寸，萬里一時。女直之午時，滇南之巳時也，於日食可驗。日十二時，則地亦十二萬里而已。[36]
喬中和認爲從女直到滇南之間的時差爲一時，頗近於實際，大概他確有日食觀測的信息作爲依據。同時，他因爲接觸過耶穌會傳教士帶來的地圓學説，還做出了“日十二時，地亦十二萬里”的構想。他將“萬里一時”與“千里一寸”並舉，盖同是取古人成説，其觀點應該仍然輾轉出自耶律楚材。
“萬里一時”的關係提示我們，耶律楚材對“里差”的定義是一種簡單粗略的構擬。他所依據的撒馬爾干到中國的距離和時差數值應該也是比較簡單粗略的。那麼，這兩個估計值到底是多少？經過反復勘算，筆者認爲分别是二萬里和二時。
大明曆曆經具載於《金史·曆志》，我們完全可以像耶律楚材一樣用它來推算庚辰年五月望的月食。應該注意的是，大明曆的推步應以趙知微改訂時的金都城燕京爲基準點，而非此前學者所選取的開封。燕京與撒馬爾干的緯度幾乎一致，都在北緯40度稍稍偏南。可能正是因爲如此，耶律楚材的“里差”法纔徑以“相去里數”爲東西距離，而没有提出南北位置不同的問題。今以大明曆算得該月食食甚定餘爲5609，即食甚在6月18日凌晨1點44分左右。[37]燕京地區的月食食甚實際發生在1點13分左右，誤差兩刻稍多。這符合元人對大明曆月食推步精度的評估，也符合整個宋元時期月食推步精度的一般水平。[38]耶律楚材説“食甚子正”，當是根據“加半辰法”而言，以午夜爲子初所起，則子正正是1時到2時這段時間。[39]如果把“子正”理解爲午夜，誤差就太大了。
在撒馬爾干地區，該月食的食甚則發生在6月17日的21點40分左右。這個時間與耶律楚材“未盡初更，月已食矣”的描述也能大致符合。對曆法家而言，晝夜刻可由該地晷影實測求得，從而反映實際晝夜長。[40]而撒馬爾干在夏至前後的夜長約爲9小時，可取爲37.5刻。是則初更之盡在午夜前11.25刻，即21點18分，在月食食甚之前22分鐘。月食的過程比較緩慢，比如1203年4月27日的月偏食，食分只有0.1，持續時間仍有78.8分鐘之久。1220年的這次月食雖爲半影月食，但如果邊緣晦暗比較明顯，應該可以在20多分鐘前觀察到“已食”。
撒馬爾干的實際食甚時刻（21點40分）與大明曆推算的燕京食甚時刻（次日1點44分）之間，相差約爲4小時或二時。這應該纔是耶律楚材所估計的兩地時差。此一時差值還可以通過大明曆與庚午元曆分别推算同一天象的時刻差來驗證。由於兩種曆法分别以燕京和撒馬爾干爲基準，兩者推算天象時刻的差異，也就反映了兩地時差的估計值。以庚辰年天正（前歲十一月）平朔爲例，大明曆的平朔小餘爲4230分，而庚午元曆的小餘爲3340分，相差890分，相當於4.08小時，大略也就是二時。
根據“萬里一時”的設定，二時對應的東西里數距離是二萬里。對此一數值，耶律楚材本人有過明確的交代。其所著《西遊録》上篇末云：“尋思干去中原幾二萬里，印度國去尋思干又等，可弗叉國去印度國亦等。”[41]可見他對東西里數距離的估計比此前學者推測的還要大得多。這種過大的估計並不是因爲受到了托勒密傳統的影響，而是反映了當時的一般地理認知。蒙元時期漢文文獻中對東西里程的記述往往偏大。如《長春真人西遊記》載丘處機於辛巳年（1221）八月行至别失八里（鼈思馬），詢問“更幾程得至行在”，得到的回答是“西南更行萬餘里即是”。[42]與此相比照，估計從燕京到撒馬爾干有二萬里就不足爲奇了。上文已經談到，古人對距離的估計主要依靠行程。這種方法，在相關地理知識欠缺和道路崎嶇艱難的情況下，産生較大的誤差，也是正常的。至此，我們已經對“里差”的内涵建立起了進一步的認識。其基本數值關係爲“萬里一時”，而建立這個關係的依據是將撒馬爾干到燕京的距離估計爲二萬里，時差估計爲二時。
有趣的是，丘處機在西行去撒馬爾干途中也注意到了在不同地點觀測交食的差别。《長春真人西遊記》載，辛巳年冬，丘處機曾在撒馬爾干與一“算曆者”談及此事：
時有算曆者在旁，師因問五月朔日食事。其人曰：“此中辰時食至六分止。”師曰：“前在陸局河，午刻見其食既。又西南至金山，人言巳時食至七分。此三處所見各不同。案孔穎達《春秋疏》，‘月體映日則日食’。以今料之，蓋當其下即見其食既，在旁者則千里漸疏耳。正如以扇翳燈，扇影所及，無復光明；其旁漸遠，則燈光漸多矣。” [43]
丘處機認識到，同一次日食，在不同地點觀測，不但時刻不同，食分也會有差異。此處他只是針對食分隨地點變化的現象做出了説明，並没有解釋時刻的問題。不過，他另有一段駁斥《易》舊注“日行地中”之説的文字，見諸明人記述，其中明確地談到了地方時：
天上日月常無出没，人間常有出没。此間東方日出時，西向千里之外猶未，萬里之外猶[初没]。[44]
雖然丘處機認爲日出與初没之處僅僅相隔萬里，未免太不合理。但是，他僅憑常識和舊籍中的概略論説，就能够對日食食分差異和地方時加以理解和简单的分析，足見相關現象的基本原理對古人來説並不困難。未曾系統學習天算知識的丘處機尚能如此，更何況耶律楚材本就具備天算素養，他應該完全有能力獨立地提出“里差”這一簡單模型，而不必待異域知識的啓發。
丘處機理解地方時的思路，有更早的來源。按《周髀算經》卷下云：
故日運行處極北，北方日中，南方夜半。日在極東，東方日中，西方夜半。日在極南，南方日中，北方夜半。日在極西，西方日中，東方夜半。[45]
在《周髀算經》特殊的宇宙結構設想中，晝夜在四方進行交替。蓋天說的另一主要代表王充則僅考慮東、西方向上太陽高度的不同。《論衡·説日》云：
當日入西方之時，其下民亦將謂之日中。從日入之下，東望今之天下，或時亦天地合。[46]
唐代僧人義浄的《南海寄歸内法傳》中的“旋右觀時”一篇有“海東日午，關西未中”之説，亦與此類似。[47]王充和義浄的論説，顯示出古人對地方時早有認識。之所以在早先的曆法計算中始終未曾引入地方時，並不是因爲缺少認知上的準備，而是缺乏實踐中的需求。中國傳統天文學，無論觀測還是推算，都主要爲宫廷和中央政府服務，以致在絶大多數情況下都只關注都城所在地的時間和天象。僅有的對地理差異的研究集中在南北距離或者説緯度差所造成的影響，特别是影長的變化。這與晷影在宇宙論中的特殊地位有很大的關係。“千里差一寸”學説作爲影長與南北位置關係的一種初步設想，一度是利用簡單視差原理估測日遠、天高的出發點，在關於宇宙結構的討論中扮演了重要的角色。到了中古時期，隨着南方政權的不斷湧現及其治下文化的發展，天文學的視野和實踐也擴展到了更廣闊的地域，“千里差一寸”的舊説也開始在新的觀測事實面前接受檢驗和質疑。[48]經過唐開元十二年（724）及其後數年的大規模實測，僧一行最終否定了影長和南北距離之間的綫性關係，改用北極高度來標定南北位置，確立了一種大略等同於緯度的度量體系。[49]一行制定的大衍曆還創設了“九服晷漏”，即根據任意地方的冬夏至實測來確定當地全年晷影表、晝夜漏刻表的方法，以及“九服蝕差”，即根據與陽城影長之差修正交食推算，以適應當地觀測的方法。[50]但是，除了晷影之外，很少有其它天象能驅動官方天文學家在都城以外的地點進行觀測。[51]雖然一行着意創立了照顧到不同緯度的若干測算法，但它們在大衍曆中只是次要的補充性内容。“九服蝕差”法甚至没有被後來的曆法承襲，也是因爲在實踐中缺乏相應的需求。總的來説，傳統天文學對地理差異非常不敏感。
因此，耶律楚材的“里差”法與其説昭示了更先進的地理認知，倒不如説是代表了一種新的地理意識。這種在天文學中更爲自覺地關注地理差異的意識，在他對於先前曆法史的評説中表現得尤爲清晰。《進曆表》在開篇表彰上古堯、舜“欽承天象，敬授民時”的傳統之後説：
是以三代而下，若昔大猷，遵而奉之，星曆之官，代有其人。漢唐以來，其書大備，經元創法，無慮百家。其氣候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之伏見，疏密無定，先後不同。蓋建立都國而各殊，或涉歷歲年之寖遠，不得不差也。既差則必當遷就，使合天耳。唐曆八徙、宋曆九更者，良以此夫！金用大明百年，纔經一改；此去中原萬里，不啻千程。昔密今疏，東微西著，以地遥而歲久，故勢異而時殊。[52]
中國古代通常的曆法史叙述，或言誤差經年而漸積，或言精密程度累世而增益，都表現爲一個依時間順序單綫延展的譜系。耶律楚材的闡説如此鮮明地將時間與空間因素並列，强調“建立都國而各殊”與“涉歷歲年之寖遠”同樣造成了曆法的反復更易，是前所未有的。這當然是因爲，他作爲宫廷天文學家所面臨的地理形勢，也是前所未見的。蒙古版圖向西急速擴展，特别是成吉思汗及其王庭隨軍而動，深入中亞腹地，都是此前王朝天文學的傳統模式所難以適應的。不過，這種對地理差異的敏感並不完全是耶律楚材面對新形勢主動適應的結果，而是政治情勢逼迫和刺激下的産物。下文將試圖揭示，雖然“里差”在其技術内容上並未直接受益於伊斯蘭天文學，但其産生卻與耶律楚材受到中亞穆斯林天文學家的挑戰大有關係。
三
庚午元曆成立背景探微
耶律楚材在《進曆表》中突出地理因素對曆法的影響，不但體現了一種新的觀念，同時也有其具體的用意，即以此來論證大明曆在撒馬爾干出現誤差的合理性。他先强調唐宋曆法的頻繁變更是“不得不差”，作爲鋪墊。然後纔引出大明曆，説它已行用百年，難免有些“昔密今疏”，再加上“地遥勢異”，使誤差擴大，即所謂“東微西著”。换言之，大明曆的誤差是特殊的時空條件所造成，屬於正常現象，而並非曆法本身有特别的缺陷。漢唐以來，改曆者通常會對現行和更早曆法的疏誤進行嚴厲的批判，進而突顯新曆的正確和權威。耶律楚材卻對大明曆持一種辯解、回護的態度，很值得注意。
要理解此種態度，必須先揭示耶律楚材提出改曆背後的另一層隱情。庚午元曆的作成，並非僅僅是爲了回應新的地理形勢和觀測結果，更是爲了回應中亞伊斯蘭天文學對漢地天文學的挑戰。後一點雖然在史籍中難以找到明確的記載，卻可以從宋子貞撰《中書令耶律公神道碑》（以下稱《神道碑》）中看出一些端倪。《神道碑》云：
初，國朝未有曆學，而回鶻人奏五月望夕月食，公言不食。及期果不食。明年，公奏十月望夜月食，回鶻人言不食。其夜月食八分。上大異之，曰：“汝於天上事尚無不知，況人間事乎！” [53]
由前文可知，此“五月望”在庚辰年，正是《進曆表》所述月食觀測的時間。[54]然而，《神道碑》以“及期果不食”，與《進曆表》中“未盡初更，月已食矣”的證詞大相徑庭。[55]至於次年十月望（1221年11月1日）月食，實際食分只有4分左右，《神道碑》所述亦不確。但這段内容並非全然虚造。其中耶律楚材曾與“回鶻”天文學家比較高下這一基本事實，應該是可靠的。《神道碑》對此還有另一處記載：
又以（西域曆）日食躔度與中國不同，以大明曆寖差故也。[56]
“日食”疑爲“月食”之訛。此處以中、西曆法推算結果的差異歸之於大明曆的誤差，與前引段落誇耀耶律楚材本領過人頗不相同。[57]但兩説卻一致指出耶律楚材曾以大明曆與當地伊斯蘭天文學相較量，可知此事不虚。至於較量的結果，則應以後説的記述更爲接近事實，即大明曆被認定不及西域曆法精密。
耶律楚材與穆斯林天文學家之間的競争可能不止於月食預報一事。《進曆表》除了庚辰年五月望月食之外，還舉出同年“二月、五月朔，微月見於西南”，作爲大明曆“先天”的證據。[58]張都《燕居叢談》所叙表文於此事更詳：“今以二月、五月朔，微月皆見於西南，較之於曆，悉爲先天，誠所未聞而未見也。若夫漢、唐以來，曆算之書備矣，俱無此説。”[59]須知伊斯蘭曆爲太陰曆，與漢地曆法同樣重視月相，而伊斯蘭天文學對月行的研究亦非常精密。大明曆的誤差可能最初正是由於其朔日與撒馬爾干當地曆書或天文表（zīj，或譯作“積尺”）不同而引起注意，進而發展到以月食加以校驗 。[60]
在宋子貞等漢人的叙述中，當然不會把已經沿用百年的大明曆出現“寖差”歸咎於耶律楚材。但是站在蒙古統治者的角度上，情形就不同了。對他們來説，耶律楚材和大明曆就代表着漢地天文學的整體水平。大明曆在天象預報中出現差忒，不但耶律楚材要承擔相應的責任，而且很可能會直接影響到對他本人乃至整個漢人群體知識和技術水平的信任。因此，大明曆與伊斯蘭天文學之間的競争不單純是技藝上的比試，同時是政治上的較量。耶律楚材爲了挽回在競争中失利的局面，就不得不一方面竭力爲漢地曆法辯護，另一方面盡快拿出能够彌補誤差的方案。
唯有明乎此，纔能理解耶律楚材在數月倉促間製作庚午元曆的意圖，也纔能理解他在《進曆表》中爲何調動時間、空間兩方面的因素，着力説明大明曆出現誤差的合理性。《進曆表》措辭微妙之處尚不止此。表文在接近結尾處雖然也説到庚午元曆“驗之於天，合若符契”，但總的來説對新曆的優越性只是輕描淡寫，基本上没有表現出任何超邁古人的自信，反而在提出改訂曆法的意願時，極盡自我貶抑之辭：
臣魚蟲細物，草芥微人。……恨無命世之大才，誤忝聖朝之明詔。欽承皇旨，待罪清台。五載有奇，徒曠蓍龜之任；萬分之一，聊陳犬馬之勞。既校曆而覺差，竊效顰而改作。[61]
其中如“魚蟲”“草芥”“待罪”“效顰”等，措辭之重，超過了一般的謙抑之語，傳達出一種深切的惶惶之情。這應是耶律楚材自知要爲大明曆的差忒承擔罪責，因而以格外卑微敬懼的姿態呈上他“改作”的結果。同時，他也明確地表示製作庚午元曆是“校曆而覺差”之後的一種補救方案。
“里差”法是這個補救方案的核心要素。在庚午元曆的設計中，“里差”法在形式上的意義要大於其實用價值。假設耶律楚材是把“里差”法加諸一種地理基準仍設在中國的曆法，用以推算中亞的天象，那麼幾乎所有的運算都必須考慮“里差”。但是庚午元曆的地理基準就設在撒馬爾干，其推算結果不需要“里差”的修正就能適用於當地。因此，“里差”的作用主要在於聲明漢地天文學有能力克服自身的缺陷，適應西征進程中新的地理形勢。
爲了贏得成吉思汗的青睞，耶律楚材還使出了傳統曆法以曆元附會天命的故技。《進曆表》云：
今演記（紀）窮元，得積年二千二十七萬五千二百七十歲，命庚辰（午）。臣愚以爲中元歲在庚午，天啓宸衷，決志南伐；辛未之春，天兵南渡，不五年而天下略定。此天授也，非人力所能及也。故上元庚午歲天正十一月壬戌朔，夜半冬至，時加子正，日月合璧，五星聯珠，同會虚宿五度，以應我皇帝陛下受命之符也。[62]
可見庚午元曆的曆元是在二千多萬年前的一個庚午歲，但又在最近的一個庚午年即1210年另立“中元”。這個“中元”，除了和上元的歲名同爲庚午之外，並没有任何的天文意義，完全是爲了附會成吉思汗“受命”而設。盛如梓《庶齋老學叢談》開篇云：“金大安元年，河清上下數百里。次年庚午，我太祖皇帝經略中原，以應受命之符。”[63]即取耶律楚材之意。《湛然居士集》孟攀麟序稱頌耶律楚材“明曆數而靈符定”，亦指其庚午受命之說。[64]值得一提的是，一甲子之後的授時曆徹底拋棄上元積年。[65]庚午元曆因而成爲中國歷史上最後一部設立上元的曆法。以曆元牽合符瑞的做法，亦在其後銷聲匿迹。
耶律楚材以曆元附會天命，和他的家學背景不無關係。其父耶律履對“陰陽方技之説，曆象推步之術”深有研究。在趙知微修訂大明曆稍後，耶律履也撰成一部“乙未元曆”。大定二十一年，兩部曆法共同接受月食觀測的校驗，趙知微曆勝出，成爲金後期的官方曆法。[66]乙未元曆的曆經失傳，但從尚可考得的基本常數來看，它與重修大明曆的年長、月長基本一致，冬至和合朔時刻的設定也相差無幾。[67]與趙知微不同的是，耶律履拋棄了以甲子日爲曆元的慣例，還改變了大明曆的日法，也就意味着他必須重新設計整個曆法的數值框架。這麼做的目的，就是爲了能够構造出呼應“金國受命之始年”即完顏阿骨打稱帝的公元1115年（歲名乙未）的曆元。[68]耶律楚材以庚午元附會成吉思汗的“受命”之年，與其父的作爲如出一轍，只不過“楚材晉用”，换了逢迎的對象而已。
關於庚午元曆與乙未元曆之間的關係，有兩條材料需要稍加辨析。《神道碑》在前引“又以日食躔度與中國不同，以大明曆寖差故也”一句之後緊接着説：“乃定文獻公所著乙未元曆行於世。”[69]兩句連起來看，似乎可以理解爲耶律楚材用以改正大明曆誤差的庚午元曆就是由乙未元曆重新釐定而成的。但後一句的本意更有可能並非指庚午元曆而言，而是謂耶律楚材曾將乙未元曆之曆經寫定流布。乙未元曆今雖不存，但在元初《授時曆議》中有著録，甚至在明後期仍有流傳。[70]作爲一部既未頒行也未進入史志的曆法，其存世之久頗不尋常，當得益於耶律楚材的整理和傳播。另外，蘇天爵在《三史質疑》一文中轉述當時監太史院事的齊履謙語云：“金大定中，翰林應奉耶律履撰庚午元曆，最爲精密。”[71]徑以耶律履所撰爲庚午元曆，必有淆訛。有學者因爲這兩條材料而懷疑庚午元曆與乙未元曆之間有直接繼承關係，甚或混兩者爲一談，[72]恐怕不妥。
前已交代，庚午元曆的主體内容承自大明曆。耶律楚材並没有像耶律履所做的那樣，變更日法，另起爐灶，而是保留了大明曆的絶大部分常數，包括最初由楊級所定的日法。保留日法的直接後果就是會限制擇取曆元的自由度。被耶律楚材取爲“中元”的庚午年，在政治意義上顯然比不上擊敗克烈部的癸亥年（1203）、始即汗位的丙寅年（1206）和出兵伐金的辛未年（1211）。[73]以之爲蒙古受命之年，非常勉强，遠不如耶律履取阿骨打稱帝之年來得順理成章。但在不改變大明曆日法，又要保證曆法精度的前提下，曆元的選擇就變得非常有限，不得不退而求其次。
因此，儘管耶律楚材模仿其父以曆元附會天命的做法，但庚午元曆的總體立意卻和趙知微重修大明曆更爲接近，都是在保留楊級以來大明曆主體結構的前提下進行改訂，而非另造新曆，取而代之。這並不是因爲耶律楚材對趙知微的曆法有更深的認同，而是因爲在他所處的情勢之中，有不得不如此的理由。首先，爲了應對危機，需要盡快拿出補救方案。保留既有的數值結構，只調整個别常數，比起變更日法，重新構造所有常數，自然費時較少。更重要的是，面對來自伊斯蘭天文學的挑戰，維持大明曆的本來面貌就是在回護漢地曆法傳統的地位和體面，猶謂中原曆法本無大礙，只需略加更定，便能克服由“地遥而歲久”所積累的誤差，仍可繼續施用。
四
“志天文以革西曆”
我們不知道《進曆表》中豐富而微妙的内容，在經過翻譯之後，有多少能被成吉思汗所理解。但我們知道，耶律楚材試圖通過進呈庚午元曆，來保全漢地曆法在蒙古治下的地位，結果卻事與願違，暫時地失敗了。根據王國維的考證，成吉思汗後期一度改行回曆。[74]開始施用回曆的時間應該就是在公元1220年攻克撒馬爾干之後不久，其緣由或有在中亞因俗而治的考慮，但也當與大明曆在與伊斯蘭天文學的競争中失利不無關係。《湛然居士集》中有《西域河中十詠》，其八云：
寂寞河中府，西來亦偶然。
每春忘舊閏，隨月出新年。
强策渾心竹，難穿無眼錢。
異同無定據，俯仰且隨緣。
詩末自注云：
西人不計閏，以十二月爲歲。有渾心竹。其金銅牙錢無孔郭。[75]
河中府是撒馬爾干的别稱。《西域河中十詠》皆以“寂寞河中府”開篇，既包含了孑然羈旅的傷感，也不無政治上的失意，並借異域風物，作自我紓解之辭。十首不成於一時，而此第八首當作於回曆619年之新年即漢曆壬午（1222）二月初。前一年辛巳（1221）有閏十二月，而《湛然居士集》中有兩首詩都標明爲當月所作。[76]其它西征途中詩作，或言元日，或言正月，或言立春，或言清明。[77]可見他非常注意月日節氣，又怎會“每春忘舊閏”？此語應是暗指當時蒙古已開始採用“西人”之曆。耶律楚材此時雖尚未正式進呈庚午元曆，但對於能否挽回漢地曆法在競争中失利的局面，似已頗感不樂觀。既然東、西兩種傳統之異同高下很難斷以定據，也只好暫且“俯仰且隨緣”。
王國維考證成吉思汗改行回曆事，也是依據《湛然居士集》中的材料，特别是以下兩首詩。《再用韻謝非熊召飯》云：
行盡遐陬萬里山，十年飄泊困征鞍。
春風燕語歸心切，夜月猿啼客夢殘。
聖世因時行夏正，愚臣嗜數愧春官。
誰知賢帥開青眼，掃灑西菴召我餐。[78]
又《和李德修韻》云：
明明聖主萬邦君，神武彫弓挽六鈞。
時有逸人遊闕下，更無騷客弔江濱。
衣冠師古承殷輅，歷日隨時建夏寅。
厚德深仁施萬世，巍然一代典謨新。[79]
兩詩中特别稱頌曆日恢復傳統漢曆建寅之夏正，可以推知成吉思汗末年一直行用“隨月出新年”之回曆。王國維一方面認爲詩意謂“太宗嗣位，乃復用大明曆”，另一方面又將兩詩都繫於窩闊台即位的前一年戊子（1228）。按後詩寫“聖主”仁德，制度一新，似作於窩闊台即位之後。但前詩所謝之賈摶霄（非熊）是雲内州元帥，且同時所寫的《謝飛卿飯》有“一鞭羸馬渡天山，偶到雲川暫解鞍”等語，先渡天山，再到雲内，則當作於公元1227或1228年某次使燕途中。[80]可見托雷監國期間已決定重行夏正，繼由窩闊台加以確認。《元史·耶律楚材傳》謂窩闊台初即位時
中原甫定，民多誤觸禁網，而國法無赦令。楚材議請肆宥，眾以云迂，楚材獨從容爲帝言。詔自庚寅正月朔日前事勿治。[81]
蒙元法令明確以漢曆日期爲時間斷限者，此當爲首見。“正月朔日”所以能具有這樣的法律效力，正是因爲漢曆此時已被重新確立爲國家曆法。
與恢復漢曆相配合，蒙古政權開始在漢地行使頒曆制度。耶律楚材《和摶霄韻代水陸疏文因其韻爲詩十首》其二云：“顒觀頒朔施仁政，竚待更元布德音。”[82]所謂“竚待更元”，當指窩闊台尚未正式即位，王國維因繫之於戊子。[83]則“行夏正”與“頒朔”當是同時措置，互爲表裏。窩闊台時期的頒曆制度，可由文獻中關於“曆日銀”用度的記載尋得蹤迹。宋濂《元太宗皇帝御制宣諭後題》謂“太宗即位之五年”（1233）或稍早曾“權用燕京、真定曆日銀建立夫子廟兩廡及肄業之館”。[84]又歐陽玄《曲阜重修宣聖廟碑》云：“太宗皇帝平金初年，歲在丁酉（1237）。……是歲曆日銀，諸路以其半，東平以其全，給修宣聖廟。”[85]曆日銀指對曆日實行政府專賣的收入。[86]南宋徐霆出使蒙古，“在燕京、宣德州，見有曆書，亦印成册。問之，乃是移剌楚材自算，自印造，自頒行，韃主亦不知之也。”[87]在蒙古政權已行曆日專賣的情況下，民間不免還會有私造曆書的情況，但以耶律楚材的身份而爲此事，不合情理。徐霆聽聞的説法，反映的應是耶律楚材精通並致力於曆法的事迹在社會上廣爲人知，以致有私鬻曆書者僞托其名，遂有自算自造之訛傳。[88]
托雷和窩闊台基於何種考慮，在成吉思汗去世後恢復施用漢曆，行使頒曆制度，難以確言。但此一決策背後有耶律楚材的努力，卻可推知。前引《再用韻謝非熊召飯》詩“愚臣嗜數愧春官”一句，似謂當時仍以耶律楚材掌星曆之事，則重行夏正，應該也出自耶律楚材的建議。在窩闊台即位前後，耶律楚材的政治地位明顯提升。他在《贈高善長一百韻》詩中説：“神祖上仙去，聖主登明堂。馹騎徵我歸，忝位居巖廊。”[89]謂窩闊台在即位前就對自己青眼有加，特意從燕京召回，準備委以要職。此一記述可與其在窩闊台登基典禮上的積極表現相印證。[90]此時的耶律楚材，更有可能影響決策。此外，《湛然居士集》卷首行秀序云：“公志天文以革西曆。”[91]更明確地將“西曆”的革去和夏正的恢復歸功於耶律楚材。對於大明曆地位的失落，耶律楚材其實並没有一直採取“隨緣”的消極態度。他維護漢地曆法的努力，最終還是達到了目的。
除了發揮政治上的影響力之外，耶律楚材的“志天文以革西曆”可能還包括一些技術活動。首先，耶律楚材可能陸續開展了一些新的觀測，進一步校驗大明曆。這方面的工作在大明曆恢復地位之後仍在繼續。據《元史·太宗紀》，乙未年（1235）十一月，“中書省臣請契勘大明曆，從之。”[92]耶律楚材已於四年前出任新創立的中書省的長官。這裏的“中書省臣”應該就是耶律楚材本人。時值十一月，可能是準備校驗大明曆推算的冬至時刻。其次，耶律楚材在留駐西域的後幾年中，大概也對伊斯蘭天文學的内容有所留心，以便知己知彼，參證異同。《神道碑》云：“嘗言西域曆五星密於中國，乃作麻答把曆，蓋回鶻曆名也。”[93]何爲“麻答把曆”，頗難索解。日本科學史家藪内清曾遍查早期伊斯蘭天文表的名稱，發現伊本·凱馬德（Ibn al-Kammad，?-1195）的al-Muqtabas天文表，名目與“麻答把”最爲音近。[94]凱馬德的著作主要流傳於伊比利亞半島和北非，不太可能出現於耶律楚材行經的中亞地區。[95]不過，似乎不能排除中亞也曾出現過以muqtabas（意爲採拮、集萃）爲名的天文著作，爲耶律楚材所見，而加以翻譯或改編（碑文“作”字恐不確）。無論“麻答把曆”究爲何物，耶律楚材對它的研究並没有對漢地曆法産生實質影響，後來授時曆的五星算法仍然延續傳統模式。
此後，大明曆不但在蒙元政權下延續官方曆法地位直至至元十七年改曆，其影響甚至遠達伊利汗國，比耶律楚材扈從西征走得更遠。由受雇於旭烈兀的波斯天文學家納西魯丁·圖西（Nasīr al-Dīn Tūsī）所著，成書於公元1270年稍後的《伊利汗天文表》（Zīj-I Īlkānī）中，載有一部“乞臺曆”，即中國曆。據拉施特的《史集·中國史》記載，中國曆法的内容是旭烈兀專門囑咐納西魯丁加進他的著作中，並由一位大約名叫傅孟質的中國賢哲爲納西魯丁介紹。這部“乞臺曆”的兩個重要數據，上元和回歸年長，都與大明曆一致（回歸年長亦與乙未元曆和庚午元曆相同）。可見傅孟質向納西魯丁傳授中國曆法時，大明曆是其主要依據之一。從大明曆上元起算的積年數，也見於《史集·中國史》和《班纳卡提史》（Tārīkh-i Banākatī）。[96]曾因伊斯兰天文学的挑战而几乎丧失地位的大明历，其要素却最终作为中国历法的代表而进入伊斯兰知识體系，其中的历史因缘，耐人寻味。
本文指出，耶律楚材提出的“里差法”雖然並非直接來源於伊斯蘭知識，但其産生卻與東、西方兩種天文學傳統的接觸和碰撞深有關係。甚至可以説，正是因爲耶律楚材在倉促之間遭遇伊斯蘭天文學的挑戰，被動應對大明曆在競争中失利的危機，纔使得他在當時無法抱有積極吸收外來知識的心態。但他在此危機之下反思漢地天文學的傳統觀念，構造出將東西向地理差異納入曆法計算的新方案，仍然是有益的嘗試，也産生了相當的影響。在忽必烈建立元朝前後，東、西方天文學密切接觸的契機，隨着扎馬魯丁等波斯天文學家入華而再次到來。至元十六年之後數年中，由郭守敬主持的比唐開元日影測量規模更大的“四海測驗”，很可能受到了西方經緯度概念的啓發，但同時也不無“里差”法和耶律楚材首倡的新地理意識的影響。[97]直到明清之際西方經緯度概念系統引入之時，不但耶律楚材“萬里一時”的假説仍有流傳，經度差也常常仍用“里差”一詞來表示。
通過釐清庚午元曆及其“里差”法的知識基礎和歷史情境，應該看到，知識傳播（knowledge transmission）的發生絶不是自然而然的，而是取決於特定文化環境和政治情勢下當事者的選擇。知識傳播雖然是文化交流作用於科學技術的重要方式，但卻不是唯一的方式。有時，雖然未能順利吸收異域新知，跨文化接觸下的特殊情勢和心態也可以促成原有知識和觀念的改變。此外，知識傳播的時機和方向，用基於現代觀念的揣想常常難以把握。比如伊斯蘭天文學、地理學中的許多元素，包括球形大地和地理經度概念等，在今人看來是更爲“先進”的知識，但由於政治和文化的複雜因素，未必能够在第一時間得到有效的傳遞和接受。而大明曆相對於伊斯蘭天文學並無優勢，甚至與同時南宋的曆法相比也並不突出，卻藉由種種機緣和耶律楚材等人的努力，其地位在蒙古治下的一個時期之内得以延續，其要素甚至能够遠播中亞和伊朗。可見，對於知識流動的可能性和發生機制，必須加以具體的考察和謹慎的推敲，而不應在證據不充分的情況下求之過切。同時，更應該把視野放寬，不只是孤立地觀察知識，同時也試圖理解掌握和使用知識的人，他們的政治和社會境遇，以及他們在遭遇異種文化時的抉擇。如此庶幾可以更平允地理解文化交流發生的過程和意義。
注釋
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* 本文爲國家社科基金冷門“絶學”和國别史等研究專項“蒙元時期天文學研究”（批准號19VJX015）階段性成果。
[1] 耶律楚材《西遊録》卷上，北京，中華書局，2000年，頁1；宋子貞《中書令耶律公神道碑》，蘇天爵《國朝文類》卷五七，四部叢刊初編本，葉10A-11B。
[2] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八《進西征庚午元曆表》及《寄趙元帥書》，北京，中華書局，1986年，頁185、189。
[3] 王國維《耶律文正公年譜》，《王國維全集》第十一册，杭州，浙江教育出版社，2009年，頁185；王國維《長春真人西遊記校注》，《王國維全集》第十一册，頁591。
[4] 關於蒙古軍進攻撒馬爾干的時間和過程，參看巴托爾德著，張錫彤、張廣達譯《蒙古入侵時期的突厥斯坦》，上海，上海古籍出版社，2011年，頁467-470。
[5] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁186，標點有改動。
[6] 《元史》卷五六《曆志五》，頁1265，標點有改動。
[7] “演紀”指演紀術，是產生於唐宋時期的一種求解同餘問題的算法，常用於曆法上元的擬定。參看曲安京《中國曆法與數學》，北京，科學出版社，2005年，頁30-31。
[8] 蘇天爵《元朝名臣事略》卷五，北京，中華書局，1996年，頁74。
[9] 同樣值得注意的是，二月朔爲西曆3月6日，應該正是蒙古軍初至撒馬爾干之時。巴托爾德提到，術茲賈尼（Minhāj Sirāj Jūzjāni）的《納昔兒史話》載撒馬爾乾干陷落於穆哈蘭月10日，約當1220年3月17日。如果此日期可靠，則耶律楚材當在撒馬爾干城破前10餘日前已隨軍到達城外，並觀測天象。這裏的朔、望等日期皆據大明曆推算，與一般所用朔閏表或有出入。
[10] 王國維《耶律文正公年譜》，頁185。
[11] 拉施特著，余大鈞、周建奇譯《史集》第一卷第二分册，北京，商務印書館，1997年，頁299；巴托爾德《蒙古入侵時期的突厥斯坦》，頁483-484。
[12] 王國維《蒙韃備録箋證》，《王國維全集》第十一册，頁337。
[13] 路易·巴贊著，耿昇譯《突厥曆法研究》，北京，中華書局，1998年，頁521-526。
[14] 《元史》卷五二，頁1119。
[15] 《金史》卷二一《曆志上》，北京，中華書局，1975年，頁441-442。
[16] 《元史》卷五六《曆志五》，頁1297，標點有改動。
[17] 《周髀算經》卷上，《算經十書》，北京，中華書局，1963年，頁26。
[18] 參看汪小虎《“日影千里差一寸”學説的歷史演變》，《上海交通大學學報》（哲學社會科學版）2008年第4期。
[19] 薄樹人《中國古代的恆星觀測》，《科學史集刊》第3期，1960年，此據《薄樹人文集》，合肥，中國科學技術大學出版社，2003年，頁208-209。
[20] 藪内清《宋元時代 の天文學》，藪内清編《宋元時代の科學技術史》，京都，京都大學人文科學研究所，1967年，頁97-98。
[21] 厲國清、劉金沂、裔培榮《我國地理經度概念的提出》，《科技史文集》第6輯，上海，上海科學技術出版社，1980年，頁7-9。
[22] 陳久金《回回天文學史研究》，南寧，廣西科學技術出版社，1996年，頁71-74。
[23] 孫小淳《從里差看地球、地理經度概念之傳入中國》，《自然科學史研究》1998年第4期，頁304-311。
[24] 如Benno van Dalen, “Islamic and Chinese Astronomy under the Mongols: A Little-Known Case of Transmission,” in Yvonne Dold-Samplonius, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, and Benno van Dalen ed., From China to Paris: 2000 Years Transmission of Mathematical Ideas, Stuttgart: Franz Steiner Verlag, 2002, pp. 331-333; Shi Yunli (石雲里), “Islamic Astronomy in the Service of Yuan and Ming Monarchs,” Suhayl, vol. 13 (2014), p. 44.
[25] Geogr. 1.4; J. Lennart Berggren and Alexander Jones, Ptolemy’s Geography: An Annotated Translation of the Theoretical Chapters, Princeton: Princeton University Press, 2000, pp. 29-30, 63. 兩地實際經度差約爲43度。
[26] Fuat Suzgin, Mathematical Geography and Cartography in Islam and Their Contiuation in the Occident, Frankfurt am Main: Institute for the History of Arabic-Islamic Science, 2000-2007, vol. IV, pp. 245-246, 266-267.
[27] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁185。
[28] 地球遮蔽日光而産生的陰影可分爲本影（umbra）和半影（penumbra）。本影是直射日光被完全遮蔽的區域，半影則是部分遮蔽的區域。如月亮全部或部分進入本影區，則形成月全食或月偏食；如月亮進入半影區而未進入本影區，則形成半影月食。半影月食通常表現爲月光暗淡，而不會造成月面殘缺的景象，因而不易察覺。只有當半影食分較大，即月亮的位置接近本影，纔可能出現月面邊緣非常晦暗，近似於小食分月偏食的效果，從而被古人注意到。本文所用月食類型、食分、食甚時刻、持續時間等數據皆依據美國國家航空航天局（NASA）的“五千年月食目録”（Five Millennium Catalog of Lunar Eclipses）。
[29] John M. Steele, Observations and Predictions of Eclipse Times by Early Astronomers, Dordrecht: Springer, 2000, p. 10. 張培瑜曾提出，中國古代史籍中有三條可能的半影月食實測記録，分别是（A）《魏書·天象志》載公元530年6月26日月食；（B）《金史·天文志》載公元1220年6月18日月食；以及（C）《元史·順帝紀》載公元1340年12月5日月食。見張培瑜《中國古代月食記録的證認和精度研究》，《天文學報》1993年第1期。這些月食的半影食分較大，相對較有可能被觀測者發現。但是，張培瑜依據的正史紀、志中的記録，多因推算而載，很難看作是實測的反映。根據劉次沅的研究，《金史·天文志》和《元史》本紀中的天象記録多非實測。月食（A）的日期記載也有疑問。參看劉次沅《諸史天象記録考證》，北京，中華書局，2015年，頁169、378-408。耶律楚材所描述的與張培瑜所舉記錄（B）爲同一次月食，但可以確認爲實測。
[30] 孫小淳在文中因將“里差”系數誤作0.4395（當爲0.4359），算得的距離爲12892里。不過，這一誤差本身對他後面的分析影響不大。
[31] Geogr. 6.13.2.
[32] Geogr. 6.11.9.
[33] Geogr. 1.12; Berggren and Jones, Ptolemy’s Geography, p. 74.
[34] Suzgin, Mathematical Geography, vol. IV, p. 259.
[35] 蘇天爵《元朝名臣事略》卷五，頁75，標點有改動。
[36] 喬中和《説易》卷一二“日度”條，《續修四庫全書》（16），上海古籍出版社，2002年，頁375下。
[37] 大明曆推算日、月食食甚定餘的方法見《金史》卷二二《曆志下》，頁492。
[38] 元人對大明曆月食推算精度的檢驗，見《元史》卷五三《曆志二》，頁1169-1176。
[39] 大明曆和庚午元曆對加半辰法的規定分别見《金史》卷二一《曆志上》，頁446；《元史》卷五六《曆志五》，頁1269。唐宋時期的大衍曆、觀天曆、紀元曆等曆法也都有加半辰法。加半辰法一事承陳侃理先生提示，謹誌謝意。
[40] 大明曆根據當地晷影求日出入分、晝夜刻及更點算法，見《金史》卷二一《曆志上》，頁465-466。
[41] 耶律楚材《西遊録》卷上，頁3。
[42] 尚衍斌、黄太勇《長春真人西遊記校注》，北京，中央民族大學出版社，2016年，頁119。
[43] 尚衍斌、黄太勇《長春真人西遊記校注》，頁152，標點有改動。丘處機在陸局河（克魯倫河）畔觀察日食的情況，見同書頁83。所引孔疏，見《春秋左傳正義》卷六，《十三經註疏》，北京，中華書局影印，2009年，頁3791下。
[44] 楊慎撰，豐家驊校證《丹鉛總録校證》，北京，中華書局，2019年，頁7；顧應祥《靜虚齋惜陰録》卷六，《續修四庫全書》（1122），頁433上。“萬里之外猶”，句意不完。其下原爲“昏，北斗直西；半夜，北斗之北。初没。子丑寅卯，周天輪次……”等語。“初没”二字蓋爲誤植，如移至前句之末，則上下文皆通順。豐家驊以“昏”字上讀，不妥。
[45] 《周髀算經》卷下，頁53。
[46] 黄暉《論衡校釋》卷一一，北京，中華書局，1990年，頁490；亦見於《晉書》卷一一《天文志上》引，北京，中華書局，1974年，頁281。參看陳美東《中國古代天文學思想》，北京，中國科學技術出版社，2007年，頁153-158。
[47] 王邦維《南海寄歸內法傳校注》卷三，北京，中華書局，1995年，頁168。此條材料承趙益先生提示，謹誌謝意。關於“旋右觀時”篇的知識背景，參看周利群《義淨記載的天竺計時體系》，《西域研究》2016年第1期，頁111—117。
[48] 南朝測量日影的記載，見《隋書》卷一九《天文志上》，北京，中華書局，1973年，頁525-526。
[49] 《舊唐書》卷三五《天文志上》，北京，中華書局，1975年，頁1303-1308。相關研究可參看A. Beer, Ho Ping-Yü (何丙郁), Lu Gwei-Djen (魯桂珍), J. Needham (李約瑟), E. G. Pulleyblank (蒲立本), and G. I. Thompson, “An 8th-Century Meridian Line: I-Hsing’s Chain of Gnomons and the Pre-History of the Metric System,” Vistas in Astronomy, vol. 4 (1961), pp. 3-28; 曲安京《中國曆法與數學》，頁245-258。
[50] 《舊唐書》卷三四《曆志三》，頁1256、1266。另參曲安京、袁敏、王輝《中國古代曆法中的九服晷影算法》，《自然科學史研究》2001年第1期；唐泉、曲安京《中國古代的視差理論——以日食食差算法爲中心的考察》，《自然科學史研究》2007年第2期。
[51]《新唐書》卷一七下《曆志三下》引一行《大衍曆議·日蝕議》（北京，中華書局，1975年，頁626）提到在開元十二年、十三年，由於當時的南北日影測量及泰山封禪等特殊活動，曾兩次根據預推在都城以外組織過日食的觀測。但由於推算的偏差，實際上都没有看到日食發生。這是耶律楚材和丘處機之前少有的在都城之外觀測交食的記載。
[52] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁185，標點有改動。
[53] 宋子貞《中書令耶律公神道碑》，《國朝文類》卷五七，葉11B。
[54] 碑文前有“庚辰，冬大雷”等語，則此節之“五月”即庚辰年五月。查月食表，附近數年中可見的十月望月食僅有1221年11月1日一次，亦可證碑文中所述兩次月食必在1220、1221兩年。
[55] 《元朝名臣事略》引述《神道碑》此節即特意注明它與《燕居叢談》（襲《進曆表》文）“所載不同”。見蘇天爵《元朝名臣事略》卷五《中書耶律文正王》，頁75。
[56] 宋子貞《中書令耶律公神道碑》，葉22B。
[57] 杉山正明未注意到《神道碑》的自相矛盾，而推測有關耶律楚材準確預報月食的記述出於宋子貞刻意僞造，未免求之過深。見杉山正明《耶律楚材とその時代》，東京，白帝社，1996年，頁258-272。宋子貞作碑文，乃以趙衍所撰行狀爲基礎敷衍而成，其中異説並存，當亦承自行狀。
[58] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁185。按，此處“先天”一詞的用法與常例不合。“微月見於西南”，即朔日傍晚新月已經出現於西方天空，則曆法所推朔日晚於實際朔日。古人通常將曆法所推天象晚於實際天象的情況稱爲“後天”，而將早於實際天象的情況稱爲“先天”。《元史·曆志一》述此事，正作“後天”。見《元史》卷五二，頁1119。
[59] 蘇天爵《元朝名臣事略》卷五《中書耶律文正王》引，頁74。
[60] 朔望時刻表是伊斯蘭天文表中的基本内容之一。參看E. S. Kennedy, “A Survey of Islamic Astronomical Tables,” Transactions of the American Philosophical Society, New Series, vol. 42.2, 1956.
[61] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁185-186。
[62] 耶律楚材《湛然居士文集》卷八，頁186，標點有改動。首句“演記”當作“演紀”，“命庚辰”當作“命庚午”，參看前文。
[63] 盛如梓《庶齋老學叢談》卷上，《知不足齋叢書》第8册，北京，中華書局影印，1999年，頁425下。
[64] 孟攀麟《序三》，耶律楚材《湛然居士文集》卷首，頁7。
[65] 《元史》卷五三《曆志二》，頁1177-1178；中國天文學史整理研究小組編著《中國天文學史》，北京，科學出版社，1981年，頁109。
[66] 元好問《故金尚書右丞耶律公神道碑》，《國朝文類》卷五七，葉2A、3B；《金史》卷二一《曆志上》，頁442。
[67] 魯實先《金乙未元歷命算日及歲實朔實考》，《東方雜誌》第41卷第12號，1945年；曲安京《中國曆法與數學》，頁122-128。
[68] 元好問《故金尚書右丞耶律公神道碑》，《國朝文類》卷五七，葉3B；《金史》卷九五《移剌履傳》，頁2101。
[69] 宋子貞《中書令耶律公神道碑》，《國朝文類》卷五七，葉22B。
[70] 明代朱載堉提到乙未元歷“命日起壬申”，是現存金、元文獻中未有的信息，且與現代學者復原的結果相吻合，則朱載堉似尚能見到關於乙未元歷的某種詳細記載。見朱載堉《萬年曆備考》卷一，《樂律全書》，明萬曆鄭藩刊本，葉74A。
[71] 蘇天爵《滋溪文稿》卷二五《三史質疑》，北京，中華書局，1997年，頁423。
[72] 薛瑞兆《金代藝文叙録》，北京，中華書局，2014年，頁458。
[73] 《伊利汗天文表》和《史集·中國史》等波斯著作即以擊敗克烈部的1203年爲成吉思汗崛起的標誌性年份。見J. A. Boyle, “The Longer Introduction to the Zīj-i Īlkānī of Nasīr-ad-Dīn Tūsī,” Journal of Semitic Studies, vol. 8, 1963; 王一丹《波斯拉施特〈史集·中國史〉研究與文本翻譯》，北京，崑崙出版社，2006年，頁121-122。關於辛未年的意義，參看陳曉偉《再論“大蒙古國”國號的創建年代問題》，《中華文史論叢》2016年第1期，頁233-246。
[74] 王國維《耶律文正公年譜》，頁227。
[75] 耶律楚材《湛然居士文集》卷六，頁115。
[76] 即《蒲華城夢萬松老人》（序云“辛巳閏月”）和《辛巳閏月西域山城值雨》二首。見耶律楚材《湛然居士文集》卷六，頁126、134。
[77] 如《庚辰西域清明》《壬午元日》《夢中偶得》（序云“正月”）《西域元日》《十七日早行始憶昨日立春》等。見耶律楚材《湛然居士文集》卷五、卷六，頁93、105-106、125、134-135、138-139。
[78] 耶律楚材《湛然居士文集》卷四，頁68。
[79] 耶律楚材《湛然居士文集》卷三，頁65。
[80] 耶律楚材《湛然居士文集》卷四《謝飛卿飯》，頁67。耶律楚材在1227、1228年間兩度奉命至燕京，參看王國維《耶律文正公年譜》，頁191-193。
[81] 《元史》卷一四六，頁3457。頒行赦令事亦見拉施特《史集》第二卷，頁31。
[82] 耶律楚材《湛然居士文集》卷四，頁69。
[83] 王國維《耶律文正公年譜》，頁192。耶律楚材《過雲中和張伯堅韻》詩中有“飛龍天子未更元”等語，亦作於托雷監國期間。見耶律楚材《湛然居士文集》卷三，頁60。
[84] 宋濂《元太宗皇帝御制宣諭後題》，曹昭撰，舒敏、王佐增《新增格古要論》卷一〇，《續修四庫全書》（1185），頁265。
[85] 歐陽玄《圭齋文集》卷九《曲阜重修宣聖廟碑》，四部叢刊初編本，葉35正、35反。
[86] 關於元代曆日專賣和曆日銀收支的概況，可參看汪小虎《元代頒曆制度述略》，《科學與管理》2012年第5期。
[87] 王國維《黑韃事略箋證》，《王國維全集》第十一册，頁374。
[88] 王國維推斷徐霆所見爲中書省頒行之本，不足據。劉曉則謂耶律楚材因庚午元曆未見頒行，故自爲印造。見劉曉《耶律楚材評傳》，頁353。是未審庚午元曆與大明曆之關係及耶律楚材的立場。
[89] 耶律楚材《湛然居士文集》卷一二，頁267。
[90] 《元史》卷一四六《耶律楚材傳》，頁3457；劉曉《耶律楚材評傳》，頁83-88。
[91] 行秀《序一》，《湛然居士文集》卷首，頁2。
[92] 《元史》卷二，頁34。
[93] 宋子貞《中書令耶律公神道碑》，葉22B。
[94] 藪内清《宋元時代の天文學》，頁98。藪内的調查主要依據的即是前引E. S. Kennedy, “A Survey of Islamic Astronomical Tables”一文。
[95] 關於凱馬德及其著作的系統介紹和研究，參看José Chabás and Bernard R. Goldstein, “Andalusian Astronomy: al-Zîj al-Muqtabis of Ibn Kammâd,” Archive for History of Exact Sciences, vol. 40.1(1994).
[96] Boyle, “The Longer Introduction to the Zīj-i Īlkānī of Nasīr-ad-Dīn Tūsī,” pp. 250-251; Benno van Dalen, Edward S. Kennedy, and Mustafa K. Saiyid, “The Chinese-Uighur Calendar in Tūsī's Zīj-i Īlkhānī,” Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, vol. 11(1997); 王一丹《波斯拉施特〈史集·中國史〉研究與文本翻譯》，頁120-122；Yoichi Isahaya (谏早庸一), “History and Provenance of the ‘Chinese’ Calendar in the Zīj-I Īlkānī,” Tarikh-e Elm, vol. 8(2009); 宮紀子《モンゴル時代の「知」の東西》，名古屋，名古屋大學出版會，2018年，頁589-592，619-622，629-620。相關史料及研究承王一丹先生提示，謹誌謝意。
[97] 參看拙稿《元初“四海測驗”地點及意圖辨證——兼及唐開元測影》，《文史》2021年第2期。
原刊《中華文史論叢》2021年第1期，此次刊發有少量更動。感謝郭津嵩先生授權發佈！
編輯：聽書人
排版：大隱