北师版初三数学上册重点

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初三数学上册知识点归纳

（※表示重点部分）

第一章  特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章  一元二次方程

1认识一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为

常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法 <即将其变为的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步骤：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成的形式；

⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

②公式法（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法  把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

5一元二次方程的根与系数的关系

※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：

（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根

6应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为：

第三章  概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接：

频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，

频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。

【知识点1】频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即。

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

【只是点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）

第四章  图形的相似

1成比例线段

一. 线段的比

※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成.

※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.

※3. 注意点:

①a:b=k,说明a是b的k倍;

②由于线段  a、b的长度都是正数,所以k是正数;

③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a, 互为倒数;

⑤比例的基本性质:若, 则ad=bc; 若ad=bc, 则。

2平行线分线段成比例

※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

     如图2, l1 // l2 // l3,则.

二. 黄金分割

※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.

※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.

3相似多边形

1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.

※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

※1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.

※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.

※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

※5. 相似三角形周长的比等于相似比.

※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.

4探索三角形相似的条件

※1. 相似三角形的判定方法:

一般三角形	直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等; ②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例.	①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a. 两直角边对应成比例; b. 斜边和一直角边对应成比例.

※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

     如图2, l1 // l2 // l3,则。

※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

5相似三角形的判定定理的证明

6利用相似三角形测高        

7相似三角形的性质      

8图形的位似

第五章  投影与视图

A）三视图 

• 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 

• 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等. 

• 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. 

※B）投影 

• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 

• 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 

•  在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 

• 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 

• 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称

为中心投影 

• 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。

C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。 

.  眼睛所在的位置称为视点，

.  由视点发出的光线称为视线，

.  眼睛看不到的地方称为盲区

第六章  反比例函数

知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

※⑷反比例函数有三种表达式：

⑸函数是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

※知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

※关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

 注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当k>0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。

反比例函数中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

则。

※  反比例函数中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

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