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高数课件:《函数的极值及最优化应用》节选
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在工农业生产,工程技术及科学实验中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎么使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“利润最高”,等等。对这类问题的研究产生了数学的一个专门的分支,称为最优化. 本部分内容是最简单的最优化应用问题,其特点是在数学上可以归结为求某一函数(在最优化中称为目标函数)的最大值或最小值问题.
最值定理 设函数 f(x)在有界闭区间 [a, b]上连续, 则f(x)在 [a, b]上存在最小值m和最大值 M,即存在点 c, d ∈ [a, b],使得对一切 x ∈ [a, b],都有f (x) ≥ f (c) = m 及 f (x) ≤ f(d) = M.
注:1.函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.
2.极值是一个局部概念, 最值是一个全局概念.
费马引理:设函数 f(x)在 x0点处可导,且存在x0 的 δ 邻域U(x0,δ), 使得当 x∈U(x0,δ)时, 恒有
f(x)≥f(x0) (或f(x)≤f(x0)),
那么f′ (x0)=0.
注:1.可微函数,极值点一定是驻点,其对应的几何意义是:可微函数的图形在极值点处有水平切线.但驻点不一定是极值点.
2. 函数的不可导点也可能是极值点.
●连续函数单调性的分界点是函数的极值点
●闭区间上的连续函数的最值可能取值位置为端点,驻点或不可导点. 这些点的函数值中最大的就是最大值,最小的即为最小值.