题型解析：泰勒中值定理与泰勒公式计算

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壹

泰勒多项式与麦克劳林多项

设函数f(x)在x₀某邻域内有定义，并且在x₀处有n阶导数，则称

为函数f(x)在x₀处的阶(次)泰勒多项式. 其中系数

称为f(x)在x₀处的泰勒系数.

特别，如果x₀=0时，称

为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.

贰

泰勒中值定理与泰勒公式

定理(泰勒中值定理)设函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，至少存在介于x₀与x之间的一点ξ，使得

该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式. 其中ξ也可以表示成

叁

带皮亚诺余项的泰勒公式

假设函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a,b)内具有直到n阶导数，则对任一x∈(a,b)，有

此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.

【注】以上两个公式当x₀=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有

肆

泰勒公式的意义及使用原则

泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.

【注1】函数f(x)在x=x₀的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x₀处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.

【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|≤C(n=0,1,2,…)

则用n次泰勒多项式P_n(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|R_n(x)|(x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.

【注3】记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式，一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.

伍

常用的几个麦克劳林公式

带拉格朗日余项的麦克劳林公式

带皮亚诺余项的麦克劳林公式

【注1】一般在应用中都使用麦克劳林公式，因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.

【注2】借助泰勒公式，可以计算函数在指定点的任意阶导数，即有

陆

计算函数泰勒公式的方法与例题

1. 直接法

(1) 计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x₀的1~n+1阶导数，然后由公式

代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.

(2) 计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式，直接求函数在x₀的1~n阶导数，然后由公式

代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.

【注】计算麦克劳林公式即为x₀=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低，函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题，比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.

例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

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【分析】该函数不好直接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, e^x,ln(1+x), (1+x)^a的结构，所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，所以要求x₀=0处的函数值及三阶导数值，于是有

所以有

【注1】由于secx是偶函数，所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯定为0.

【注2】对于抽象函数一般使用直接法.

例2(1996年数学一) 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件

|f(x)|≤a, |f’’(x)|≤b.

其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点.

(1) 写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；

(2) 证明|f’(x)|≤2a+b/2.

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【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题，并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述，于是直接由泰勒公式定义形式，有

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1. 这就是该考题第(1)的结果.

对于第二问，考虑的是f’(x)，由于c为任意点，所以就相当于考察泰勒公式中的f’(c)，所以希望将它用有相关已知条件的函数与二阶导数来描述，如果直接用一阶泰勒公式表示，则分母中出现x-c，无法获取最小下界. 因此，按照常规的泰勒公式的应用于证明题的思路，写出在某点的泰勒公式后，分别求其它已知点，或者中点、端点的函数值，然后借助两个泰勒公式消去一些不好讨论的项，得出能够讨论出结果的表达式.

比如这里，除了c，就只有两个相关端点了，于是对一阶泰勒公式求x=0,x=1的值，有

两式相减，则可以将f’(c)的变量系数消去，从而有

从而有绝对值不等式，有

由于g(c)=(1-c)²+c²的导数为g’(c)=4c-2，所以驻点只有一个，即c=1/2，比较函数g(c)在0，1/2，1的值，即1,1/2,1，所以有1/2<g(c)<1，从而有结论成立.

2. 间接法

该方法基于函数表达式恒等变换与泰勒公式的唯一性.

(1) 将函数的变量描述为x-x₀的函数形式，x变量不再以其它形式存在于函数表达式中；

(2) 将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构，即sinx, cosx, e^x,ln(1+x), (1+x)^a，其中x可以是任意的表达式，如果将其替换为x-x₀，则得函数在x=x₀处的泰勒公式.

【注】变换思路可以考虑两个方向，求麦克劳林公式则从考虑变换函数结构出发，求非零点的泰勒公式，则先考虑变量结构，在考虑函数结构.

(3) 写出构成函数的各基本初等函数的泰勒公式，合并化简系数，写出最终泰勒公式

例1 分别求x²/(4+x)的n阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式和x=2处的n阶带皮亚诺余项的泰勒公式.

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【分析】(1)求带皮亚诺余项的麦克劳林公式，它从变换函数结构出发：具有x²/(4+x)结构的，已知泰勒公式的初等函数为

于是有

或者

(2)求带皮亚诺余项的x=2泰勒公式，首先从变量出发，把变量都变为x-2，则有

例2 求f(x)=e^sinx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

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【分析】：直接法：该函数不具有直接的以上五个函数结构，所以考虑直接法，于是有

所以有

间接法：

于是有

例3(2000数学二)：求函数f(x)=x²ln(1+x)在x=0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)(3≤n).

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【解题分析】由于是求x=0处的n阶导数，所以由麦克劳林公式，有

于是由ln(1+x)的麦克劳林公式：

可得

【另解】由于这是一个幂函数与对数函数的乘积，所以它的导数也可以由莱布尼兹计算公式来求，其中公式为：

如果令

则由于有

所以有

因此当x=0时，代入上式，则有

小贴士

泰勒公式应用于求函数极限

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