《函数的单调性凹凸性》课件节选及摘要总结

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函数单调性的判定：

设函数在[a,b]上连续，在内可导，则

(1) (a,b)内f’(x)>0，则函数在[a,b]上严格单调增加．

(2) 在(a,b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a,b]上严格单调减少．

极值第一充分条件：

设在处连续，在x₀的某去心邻域内可导，则

(1) 如果左正右负，那么f(x)在x₀处取极大值．

(2) 如f’(x)左负右正，，那么在x₀处取极小值．

(3) 如果f’(x)不变号，那么f(x)在x₀处不取极值．

极值的第二充分条件：

设函数f(x)在处具有n阶导数，且

那么

(1) n为偶数时，为极值点，且n阶导数大于0，取极小值；n阶导数小于0，取极大值.

(2) n为奇数时，x₀不是极值点.

函数图形凹凸性的判定：

设在内存在二阶导数，

(1) (a,b)内f’’(x)>0，则f(x)描述的曲线为凹弧；

(2) 如果在(a,b)内f’’(x)<0，则f(x)描述的曲线为凸弧．

分析作图法的基本步骤：

第一步：函数f(x)的一般性质分析：确定函数f(x)的定义域、值域、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点；

第二步：求一阶导数和二阶导数，确定使=0的点及f’(x)不存在的点；使=0的点及f’’(x)不存在的点，即找出函数f(x)的可能极值点和拐点；

第三步：列表分析，分别根据f’(x)及f’’(x)的符号确定f(x)的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点；

第四步：用渐近线界定曲线的变化趋势．求水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线；

第五步：描点作图，并标出关键点的坐标，画出渐近线，用光滑曲线连接各关键点.

【注】极值点为变量取值x=x₀，拐点为图形上的点(x₀,f(x₀)).

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