高数:不定积分的分部积分法使用总结与参考课件
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● 不定积分的分部积分法基于两个函数的乘积的求导运算法则,即
● 不定积分的分部积分法的关键是构造v. 基本思路是将被积函数f(x)拆分成两个函数的乘积,即f(x)=g(x)h(x),并且其中一个函数的原函数好求,如h(x)的原函数为H(x),则可以直接令u=g(x),H(x)=v,则借助分部积分公式可以将积分转换为H(x)g’(x)的积分计算,如果该积分比原来的不定积分计算容易计算,则对f(x)的拆分是一个有效拆分,否则需要重新考虑其它方法.
● u,v的构造除了有“反(反三角函数)对(对数函数)幂(幂函数)指(指数函数)三(三角函数,主要就是正弦、余弦函数),前者为u,后者用于构造v”原则外:
(1)v函数的选取也可以考虑对被积函数f(x)的部分求导数的方法构造. 比如
当然这个题目也可以先考虑换元法进行计算,具体参见课件的例12.
(2)如果被积函数不好拆分,则直接令被积函数f(x)=u,x=v进行分部积分计算. 如对arcsinx,lnx直接求不定积分,则
u=arcsinx,v=x;u=lnx,v=x.
● 对含自然数n的积分, 通过分部积分建立递推公式 . 参见课件中的例9. 如果是三角函数或者可以转换三角函数的n次方的积分,则考虑借助三角函数函数的恒等式拆分n次方,比如
sinnxdx=sinn-1xsinxdx=-sinn-1xdcosx
以及参考例10.
【注1】如果要多次使用分部积分法,则注意前后的u,v所设函数类型必须一致;即第一步选用三角函数构造v,则第二次使用分部积分法时,必须也用三角函数构造v.
【注2】对于抽象函数中包含有一阶、二阶等导数乘积项的不定积分,一般直接由抽象函数的导数构造v函数,使用分部积分法计算不定积分,即
f’(x)dx=df(x),f’’(x)dx=df’(x),…
参见课件中的例11.
【注3】不定积分一般综合使用换元法与分部积分法来计算,一般都是先换元后分部.
【注4】不定积分是原函数族 , 两个不定积分相减不应为0. 参见练习5.
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