典型习题：(090207)向量值函数的导数及几何应用

Original 刘哥考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

向量值函数的导数及几何应用”相关的知识点：

1．向量值函数的导数与微分

向量值函数的导数等于各个分量的导数构成的向量。如向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k，各分量函数在点t处可导，则r(t)在点t处可导，且有

如果一个向量值函数r(t)在区间I上满足r’(t)连续，且在区间I内r’(t)≠0，我们就称r(t)在区间I上是光滑的。

2．向量值函数的求导法则

利用数量函数的求导法则及向量的运算法则，可以给出向量值函数的求导法则．

设u(t),v(t)为可导的向量值函数，f(t)为可导的数值函数，C为常向量（即C的各分量都为常数），为常数，则有

3．向量值函数导数的几何意义及应用

如果r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k的导数r’(t)存在，且r’(t)≠0，则称r’(t)为曲线r(t)在点P处的切向量，且切向量指向参数t增大的方向；称过点P且以r’(t)为方向向量的直线为曲线r(t)在点P处的切线．即曲线r(t)的切向量为

空间曲线r(t)在点t₀处的切线向量为

则在点P(f(t₀),g(t₀),h(t₀))处曲线的切线方程为

称过点P且与向量T(t)垂直的平面为空间曲线r(t)的法平面，其方程为

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