数学竞赛：《高等数学》课程教学、学习基本要求
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《工科类本科数学基础课程教学基本要求》
高等数学部分
在《全国大学生数学竞赛通知》中明确竞赛“考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容！”
各门课程的内容按教学要求的不同，都分为两个层次。文中用黑体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。
1. 函数、极限、连续
(1) 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
(2) 理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
(3) 会建立简单实际问题中的函数关系式。
(4)理解极限的概念，了解极限的ε-N，ε-δ定义（不要求学生做给出ε求N或δ的习题）。
(5)掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
(6) 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限
求极限。
(7) 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
(8) 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。
(9) 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。
(10) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。
2. 一元函数微分学及其应用
(1) 理解导数的概念及其几何意义（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题），了解函数的可导性与连续性之间的关系。
(2) 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
(3) 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。
(4) 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。
(5) 了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的阶导数的一般表达式）。
(6) 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。
(7) 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧），会用洛必达（L'Hospital）法则求不定式的极限。
(8) 了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。
(9) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。
(10) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
(11) 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
(12) 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。
3. 一元函数积分法及其应用
(1) 理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中值定理。
(2) 理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿－莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。
(3) 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）。
(4) 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。
(5) 了解两类反常积分及其收敛性的概念。
(6) 了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）的思想。
4. 多元函数微分学及其应用
(1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。
(3) 理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。
(4) 了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法。
(5) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(6) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）。
(7) 会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）。
(8) 了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。
(9) 理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。
5. 多元函数积分学及其应用
(1) 理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。
(2) 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标，*球面坐标）。
(3) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分（对于空间曲线积分的计算只作简单训练）。
(4) 掌握格林（Green）公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义。
(5) 了解两类曲面积分的概念及其计算方法。
(6) 了解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求）。
*(7) 了解场的基本概念，了解散度、旋度的概念和某些特殊场（无源场、无旋场与调和场），会计算散度与旋度。
(8) 了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。
6. 无穷级数
(1) 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。
(2) 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
(3) 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。
(4) 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对求幂级数的和函数只要求作简单训练）。
(5) 会利用ex，sinx，cosx，ln(1+x)与(1+x)α的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。
(6) 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。
(7) 了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在(-π,π)和(-L,L)上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在(0,L)上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。
7. 常微分方程
(1) 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。
(2) 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。
(3) 会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。
(4) 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：
(5) 理解二阶线性微分方程解的结构。
(6) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(7) 会求自由项形如Pn(x)eαx，eαx(Acosβx+Bsinβx)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中Pn(x)为实系数n次多项式，α,β,A,B为实数。
(8) 会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。
课程教学建议：
(1) 在课程的教学过程中，应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。要不断更新教学内容，逐步实现教学内容的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，淡化运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。
(2) 各校应根据自身的实际情况，努力创造条件，尽快开设与理论教学相配套的数学实验课，使学生学会使用常用的数学软件，提高他们使用数学软件解决问题的意识和能力，逐步培养他们的数学建模能力。已开设数学实验课的院校，可将基本要求中有关内容的理论教学结合实验课完成。
(3) 应保证学生足够的课外学习时间，课内外学时比建议为1:2。习题课是实现教学基本要求的一个重要环节，不应取消。习题课学时应不少于总学时的1/6，以采用小班上课为宜，不宜用大班课代替。
(4) 考试不仅是检查教学效果的重要手段，而且对教与学有着重要的导向作用。应积极进行考试改革，使考试的内容和形式不但有利于检查学生对基本知识和技能掌握的情况，而且有利于检测学生素质和能力的高低，逐步建立起科学的人才评判标准和教学质量评价体系。
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