(010108)“数学归纳法”思想解题举例——不等式证明

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一般，用数学归纳法证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

(1) 归纳奠基：证明当n取第一个值n₀时命题成立。n₀对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

(2) 归纳假设：假设当n=k（k≥n₀，k为自然数）时命题成立；

(3) 归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

综合以上步骤，得出对一切自然数n（≥n₀），命题P(n)都成立的结论。

例：设a_i>0(i=1,2,…,n)，而且a₁·a₂·…·a_n=1．证明：a₁+a₂+…+a_n≥n，等号当且仅当a₁=a₂=…=a_n时成立．

推论（算术-几何平均值不等式）：

若a_i(i=1,2,…,n)皆为非负数，则有

【注】一般来说，发现一个数学问题的结论比证明该问题的结论要难度大得多。因为，当我们尚不知道该数学问题的相关结论是否存在时，动手去求解这个问题是一件没多大把握的事情。相反地，去证明该问题已知的结论，心里就要踏实多了，而且往往问题的结论会为我们证明它提供一些有用的信息。从这个意义上讲，归纳法拓宽了我们解题的途径。

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