函数的基本概念、常用特殊函数举例与课件节选

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一、函数相关的基本概念

1、函数的定义：设D为R中的非空集合，称映射f:D→R为定义在D上的一元实函数（简称一元函数或函数），通常记为

y=f(x),x∈D

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为D_f．函数f(x)(x∈D_f)的值域为

R_f={f(x)| x∈D_f }．

2、函数f(x)的图形：指以集合G_f={(x,f(x))| x∈D_f }中的元素(x,f(x))为坐标在xOy坐标平面上描绘的点的集合，如果定义域为区间，则图形为曲线。

3、两函数相同：必须定义域、对应法则与值域都相同。

4、函数的定义域有自然定义域与实际定义域：实际定义域包含于自然定义域。

二、几个特殊的函数和基本初等函数

对几个特殊函数和初等函数的定义域、值域、图形必须熟练掌握.

1、特殊函数：常值函数、绝对值函数、符号函数(sgn(x))、狄利克雷函数(D(x))、取整函数([x]，不超过x的最大整数). 它们是高等数学中的常用于说明问题的基本函数，经常用作反例！

2、基本初等函数：幂函数、指数函数(尤其是e^x)、对数函数(尤其是lnx)、三角函数（sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx）、反三角函数(arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx).

三、函数的基本运算与初等函数

1、函数的四则运算与复合运算不能以运算以后的形式来确定函数的定义域，而应该是要让运算过程有效的定义域。

2、直接函数y=f(x)与反函数x=f^-1(y)的图形为同一曲线，而与y=f^-1(x)的图形关于直线y=x对称。

3、初等函数是由基本初等函数与常值函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到函数，并要求这些函数有一个统一的解析表达式．在微积分中所接触到的函数多数为初等函数．

除基本初等函数外，常见的初等函数有

(1)多项式函数：

(2)有理函数：

其中P(x)和Q(x)都是多项式函数

(3)双曲函数与反双曲函数：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，双曲余切函数．

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