无穷大、无穷小基本概念、性质与水平、铅直渐近线内容小结与课件

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1、无穷小及其基本性质

(1)无穷小(量)是自变量的某个变化过程中极限为0的函数；

(2)除0外，其他任何常值函数都不是无穷小量。

(3)函数，函数极限与无穷小的关系：

【注】这个性质给出了极限式中的抽象函数的一种相对具体的描述形式，借助f(x)的这种描述形式，使得与之相关问题的解决更加直观、有效！同时，看到一个函数极限存在的条件，要记得极限式可以写成以上描述形式，为问题解决提供一种可能的探索思路或方向。

(4)有限个无穷小的和与有限个无穷小的积仍然是无穷小。

【注】无限个结果不一定成立。

(5)有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小.

2、无穷大及其基本性质

(1)无穷大是自变量的某个变化过程中函数值整体无限增大！

(2)无穷大分为正无穷大与负无穷大，一般用前面带正负号标记区别+∞，-∞。如果函数值在某个变化过程中既趋于正无穷大，也趋于负无穷大，比如1/x在x→0时，两侧同时趋于无穷大，只不过左侧趋于负无穷大，右侧趋于正无穷大，则一般记作∞。

(3)验证一个函数是某个自变量变化过程中的无穷大最有效的方式是验证它的倒数为该自变量变化过程中的无穷小量.

(4)某变量变化过程的无穷大与有界函数之和仍是该过程的无穷大．

(5)某变量变化过程的无穷大与该过程极限值为非零值的函数的乘积仍是该过程的无穷大．

(6)无穷大与无界函数的区别与判定

●如果有一个子变化过程，使得函数值趋于某个确定的值，则该函数不是该变化过程中的无穷大；

●如果有一个子变化过程，使得函数值趋于无穷大，则该函数是无界函数。

3、水平渐近线与铅直渐近线

●水平渐近线

一个函数f(x)的水平渐近线可能的条数为：0，1，2

条数为0：以上两个极限都不存在，比如f(x)=x；

条数为1：以上两个极限有一个存在；或者两个都存在，但是极限值相等，比如f(x)=1/x；

条数为2：以上两个极限都存在，并且极限值不相等，比如f(x)=arctanx；

函数f(x)描述的曲线的水平渐近线为函数值等于极限值的常值函数对应的水平直线。

●铅直渐近线

一个函数f(x)的铅直渐近线可能的条数为：0，1，2，…无数条

如果在函数f(x)的定义域上（包括没有定义的端点），对于其中的x_k，如果上面的左右极限只要有一个极限趋于正无穷大，或者负无穷大，则x=x_k对应的铅直线就为函数f(x)描述的曲线的铅直渐近线。

比如f(x)=1/x，有一条铅直渐近线x=0；另外如f(x)=tanx，有无穷条铅直渐近线，即所有cosx=0的值对应的铅直线。

【注】曲线可以与渐近线相交。如f(x)=sinx/x描述的曲线有水平渐近线y=0，它在自变量从两个方向趋于无穷大的整个变化过程中都与渐近线有交点.

参考课件节选：

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