函数的连续性与间断点内容小结与参考课件节选

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1、函数连续的定义

函数f(x)在x₀处连续的三个要素：

(1)在x₀的邻域内有定义；

(2)x→x₀函数极限存在；

(3)极限值等于函数值.

2、函数连续定义的几种等价描述与证明方法

【注1】后面四种增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明。证明区间内任意一点函数连续，则只要将增量形式中的x₀换成x则可以换成任意一点连续性的定义。

【注2】对于分段函数的分界点，区间端点连续性的证明，分别用左连续与右连续的定义，即

【注3】闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续，右端点左连续，而不是连续！

【注4】初等函数在定义区间内任意一点都连续，从而有函数的极限等于极限的函数。即

【注5】函数可以仅仅在定义域内一点连续，比如函数

仅仅在x=0处连续。也可以在定义域内任意一点都不连续！

3、间断点及其类型

函数f(x)间断点的判定与连续性的三要素对应，满足如下三个之一即为间断点：

(1)函数在x₀处无定义；

(2)函数在x₀处有定义，但x→x₀函数极限不存在；

(3) 函数在x₀处有定义，x→x₀函数极限存在，但极限值不等于函数值.

依据函数x→x₀左右极限的存在性，可将间断点分为两个大类，四个小类：

●第一类间断点：左右极限存在

当左右极限相等，则称为可去间断点；左右极限不等，则称为跳跃间断点。

●第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

如果有一个极限趋于无穷大，则称为无穷间断点；否则称为振荡间断点。

【注】间断点存在的位置为分段函数的分界点，或者函数定义区间的分割点。没有定义的点构成区间则不为函数的间断点，为函数没有定义的区间！

4、函数间断点的判定

(1)求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点x_k；

(2)对x_k求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点类型。

5、幂指函数极限的对数函数法

基于函数e^x在全体实数范围内的连续性，有

其中要求f(x)在x^*的某个去心邻域内大于0，如果f(x)的极限大于0即满足要求，并且可以推得如下结论：

参考课件节选：

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