《连续函数的性质》内容小结与参考课件
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1、连续函数的运算法则与初等函数的连续性
●基本初等函数在定义区间内连续
●连续函数的四则运算的结果连续
●连续函数的反函数连续
●连续函数的复合函数连续
●所以初等函数在定义区间内连续
2、有界闭区间上连续函数的性质
在探索求解问题的过程中,只要看到或者推导出闭区间上连续函数这样的描述,应该要在草稿纸上马上写下,或者脑海中马上能够浮出如下结论:
●有界性定理:有界闭区间上连续的函数是有界的
●最值定理:有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的;在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值,也至少存在一点使得函数取到最大值
●介值定理:位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值,在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值
●零值(零点)定理:如果闭区间两个端点的函数值异号,则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0
●如果x1, x2,…,xn∈[a,b],f(x)在[a,b]上连续,M是函数f(x)在该区间上的最大值,m是函数f(x)在该区间上的最小值,则
3、借助零点定理证明中值等式的基本思路
借助零点定理(介值定理)可以证明方程根的存在性,或者函数零点的存在性,其一般思路为:
(1)变换需要验证等式为简单形式;
(2)将所有项移到等式一侧,一般移到左侧,右侧为0;
(3)令左侧的中值符号为变量x,则令其为辅助函数F(x);
(4)针对讨论的闭区间,或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b],在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号;
(5)如果乘积等于0,则中值即为端点值,结论成立;如果乘积小于0,则区间内存在零点,结论成立。
(6)改写得到的辅助函数零值等式,得到需要验证结论。
其中前三步是关键,合适的辅助函数是成功证明的关键!如果依据构建的辅助函数不成功,则重复以上步骤,重新考虑辅助函数的构建!
参考课件节选:
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