《高阶导数》内容小结、例题与参考课件节选

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1、基本初等函数的求导公式及应用

基本初等函数的求导公式(见教材或课件)是计算导数的基础，这些公式可以直接由几个基本初等函数的导数与三个运算法则：四则运算法则、反函数求导法则和复合函数求导法则计算得到。一般不需要记忆，可以直接推导得到，或者熟能生巧.

【注】在应用求导运算法则求导数之前，先对导数进行必要的化简或改写！

2、对数求导法

对于复杂的连乘函数和具有幂指函数的结构(包括具有指数函数，或者幂函数结构的复合函数)的函数的导数的计算，一般借助于以自然常数为底的指数函数的复合结构，基于复合函数求导的链式法则求导。用到的函数改写公式为 

3、抽象函数求导

(1)求导变量不是函数包含的变量，如果函数变量与求导变量无关则导数为0，否则导数等于函数关于自己变量的导数乘以自己变量的导数关于求导变量的导数. 即

(2)注意函数求导符号的区别

仔细体会以下描述，注意公式、结论中出现的表达式的标准结构！

(3)注意抽象函数的导数的复合结构与原来函数的复合结构一样，如

二阶导数求导只要将一阶导数结果中的f换成f’即可.

4、高阶导数

高阶导数就是对导函数继续求导，因此，求高阶导数必须先要计算出前一阶导函数表达式！对于导函数的可导性的讨论与导数的计算和函数可导性及导数的计算思路与步骤完全一致！

【注】高阶可导性的讨论参见课件最后一个练习！

对于高阶导数的计算一般考虑间接法计算，对于不能通过改写表达式将函数转换为已知了高阶导数求导通项公式函数的和差结构的，采用直接计算法，基于数学归纳法得到通项公式，或者直接计算得到需要的高阶导数。

对于复合特定结构的函数，可以考虑使用莱布尼兹高阶导数计算公式。对于具体点的高阶导数的计算也可以采用后一章的泰勒公式法。莱布尼兹求导公式可以对照二项展开公式对照记忆，只要将二项展开公式中的函数相加改成函数相乘，将次数改成求导阶数即可，其中0阶导数等于函数本身，即有

【注】容易推导得到，最好能够记住的几个高阶导数通项公式参见课件！

参考课件节选：

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