《不定积分基本概念与性质》小结与课件节选
点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦!
一、原函数
如果在区间I上,F’(x)=f(x),则F(x)称为f(x)的一个原函数.
原函数存在定理:若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上存在原函数.
【注1】不连续的函数也可能存在原函数. 如
【注2】如果一个函数存在原函数,那么它有无穷多个原函数,而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数.
二、不定积分
函数f(x)在区间I上所有原函数的一般表达式称为f(x)在I上的不定积分,并且有
其中C称为积分常数或任意常数,函数f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,其余符号对于积分而言为常数.F(x)是f(x)的在区间I上的任意一个原函数.
【注】不定积分是所有原函数的集合,结果一定不能缺少C!没有C则仅仅是原函数集合中的一个元素。
三、不定积分基本性质
【注】不定积分与求导、微分互为逆运算,交替使用相互“抵消”。最后的一个运算决定结果形式,最后运算为不定积分,则结果不能忽略任意常数C;为微分运算,则结果不能缺少dx.
四、不定积分线性运算性质
与求导的线性运算法则相对应,有不定积分的线性运算法则:
如果f(x)与g(x)的原函数存在,则
其中α和β为常数.
五、基本不定积分公式
由基本初等函数的导数基本公式,有如下函数不定积分基本计算公式,它们是求不定积分的基础,必须熟记和掌握!
【注1】以上公式中被积函数与积分结果中的x可以直接替换为x+a.
【注2】对于不定积分结果在计算出来以后,一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数。只要求导结果就为被积函数,则不管结果形式如何都为正确结果.
【注3】有理函数的积分一般拆分成部分分式计算积分,有理函数的部分分式分解参见推荐阅读列表中的“知识点解析:有理函数的部分分式分解的基本概念与方法”
参考课件节选:
相关推荐
微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台!
↓↓↓点阅读原文查看所有文章列表