《函数的多项式逼近与泰勒公式》内容、问题类型小结与课件节选

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泰勒公式的意义

(1) 泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；

(2) 提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.

泰勒公式使用注意事项

(1) 函数f(x)在x=x₀的n导数存在，则可以写出该函数在x=x₀处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.

(2) 只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|≤C(n=0,1,2,…)

则用n次泰勒多项式P_n(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|R_n(x)|( x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式多可以满足这个要求.

(3)记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的相应公式，可以借助基于等式恒等，公式展开的唯一的间接法来获得相应的公式，即只要得到具有泰勒公式描述形式的表达式，不管通过什么方法得到的，都是函数相应的泰勒公式. (直接法、间接法)

泰勒公式求解问题的类型及对应的公式使用原则

带拉格朗日余项的泰勒公式也称为泰勒中值定理，一般用于证明已知或结论中含有二阶及二阶导数、函数值、自变量值等项的等式或不等式命题.  对于中值命题(等式、不等式)一般在区间端点、中点展开，求端点或中点的函数值；而对于函数(函数结论、导函数结论)结论命题，则一般在动点展开，即区间内任一点展开，然后求端点或中间点的函数值；对于得到的等式进行加减运算，消去无关项，得到可能的，应用于验证命题的结论.

对于计算问题，则一般使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式，或泰勒公式，比如求函数的极限，则一般使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并将极限式变量的变化过程转换为x趋于0的变化过程.

参考课件节选：

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