《常值级数敛散性判定》的基本思路与步骤

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判别常值级数敛散性的基本思路与步骤：

相关结论：

几何级数(等比级数)：当公比|q|<1时，级数收敛，并且有

当|q|≥1时发散.

自然常数：

注意以上两个和从n=0开始.

p-级数：

并且当p=1时，级数称为调和级数，即调和级数是发散级数.

定义1　对于级数∑a_n，若其部分和数列{S_n}收敛，且极限为s，则称级数∑a_n收敛，s称为该级数的和，记为

若部分和数列{S_n}发散，则称级数∑a_n发散．

定理1(级数收敛的必要条件)设级数∑a_n收敛，则有

定理2　设级数∑a_n和∑b_n收敛，则级数∑(αa_n±βb_n)也收敛(αβ≠0)，且

定理3　增加或减少级数∑a_n中的有限项不改变原级数的收敛性，换句话说，级数的收敛性与前有限项无关．

定理4　设级数∑a_n收敛，则在不改变级数项前后位置的条件下，任意结合级数的有限项得到新级数，则新级数也收敛，且和不变．

定理5(正项级数收敛的充要条件)设∑a_n为正项级数，则∑a_n收敛的充要条件是其部分和数列{S_n}有界，即存在不依赖于n的正常数M，使得

定理6(比较判别法的不等式形式)设∑a_n和∑b_n均为正项级数，且在某一项N之后成立a_n≤b_n(n=N,N+1,…)，则有

(1) 当级数∑b_n收敛时，级数∑a_n也收敛；

(2) 当级数∑a_n发散时，级数∑b_n也发散．

定理7(比较判别法的极限形式)设∑a_n和∑b_n均为正项级数，且

则

(1) 当0<ρ<+∞时，级数∑a_n和∑b_n有相同的敛散性；

(2) 当ρ=0时，如果级数∑b_n收敛，那么∑a_n收敛；

(3) 当ρ=+∞时，如果级数∑b_n发散，那么∑a_n发散．

定理8(比值判别法)设∑a_n为正项级数，且

则有

(1) 当0≤ρ<1时，级数∑a_n收敛；

(2) 当ρ>1时，级数∑a_n发散；

(3) 当ρ=1时，级数∑a_n敛散性不确定.(即方法失败)

定理9(根值判别法)设∑a_n为正项级数，且

则有

(1) 当0≤ρ<1时，级数∑a_n收敛；

(2) 当ρ>1时，级数∑a_n发散；

(3) 当ρ=1时，级数∑a_n敛散性不确定.(即方法失败)

定理10(莱布尼兹判别法)对于交错级数∑(-1)^n-1a_n(a_n>0)，若满足{a_n}单调减少趋于0，则交错级数∑(-1)ⁿa_n收敛，且

定理11若级数∑|a_n|收敛，则级数∑a_n一定收敛，且

定义2　若级数∑|a_n|收敛，则称级数∑a_n为绝对收敛．若级数∑a_n收敛，而级数∑|a_n|发散，则称级数∑a_n为条件收敛．

【注】对绝对收敛级数符合加法的交换律，即任意交换绝对收敛级数项的前后位置，得到的新级数仍然绝对收敛，且具有相同的和；另外∑a_n和∑b_n都为绝对收敛级数，则它们的乘积

构成的新的级数也绝对收敛，并且和就为两个级数的和的乘积.

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