《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题

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一、基本结论与定理

1、费马引理：可导函数极值点处导数等于0，曲线有水平切线

2、罗尔定理：闭区间上端点值相等的连续可导函数必存在导数等于0的点

3、拉格朗日中值定理：闭区间上连续可导函数必存在导数等于曲线端点连线的斜率的点

4、柯西中值定理：闭区间上连续可导的两个函数，分母的导数不等于0时，存在一点使得两函数端点值的差的比值等于该点处两个函数的导数值的比值.

5、泰勒中值定理：如果函数在点x0的某个邻域内具有n+1阶导数，则有

二、有关中值命题证明的思路与方法

利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法:

(1) 证明含一个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。验证根的唯一性、至少、至多数量一般借助于反证法，基于罗尔定理验证.

(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理.

(3) 若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应用中值定理。一般首先考虑将不同的中值分别放置于不同的两侧，然后对于各侧使用中值定理.

(4) 若已知条件中含二阶及二阶以上的导数 , 多考虑用泰勒公式 , 对于一阶、两阶也可考虑对导数用中值定理.

(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.

(6)罗尔定理、柯西定理一般只用于等式结论的证明，而拉格朗日中值定理(泰勒中值定理的特殊情况)和泰勒中值定理即可用于等式的证明，也可用于不等式的证明。对于包含有函数值、自变量取值、导数值的中值命题的证明，一般首先考虑拉格朗日中值定理和泰勒中值定理.

三、用导数研究函数的性态

(1)单调性的判定

(2)凹凸性的判定

(3)极值点、极值、拐点的判定和计算

(4)最值判定与计算

(5)曲率和曲率圆的计算

(6)借助单调性、凹凸性、极值、最值验证函数不等式或常值不等式

(7)应用拉格朗日中值定理求极限

(8)应用洛必达法则求极限

(9)应用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求极限

(10)分析作图法的基本步骤

具体应用实例和更详细的内容参见课件列表和推荐阅读列表：

参考课件节选：

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