《不定积分换元法》内容小结与课件节选

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一、不定积分换元法使用的注意事项

●不定积分的换元是基于基本的不定积分公式和不定积分的线性运算法则的，所以对于基本的不定积分公式要非常熟练，常见的不定积分公式见课件与教材.

● 不定积分的换元是基于求导或求微分运算的形式不变性的，即对最终变量的积分等于对中间变量的积分.

● 对于换元法求不定积分一定要在换元求积分以后，要记得利用相应的逆运算把元换回来，绝对不能使用符号的无关性，将中间变量的积分结果当作最终结果！

● 对于计算得到的不定积分结果最好进行验算，即对求得的不定积分求导数，看化简、变换后是否等于不定积分的被积函数，如果不相等，则计算错误，需要重新计算.

● 不定积分的最终结果一定要有任意常数C，任意常数C，任意常数CCCC！

二、不定积分第一类换元法的基本思路

第一步：将被积函数f(x)拆分成两个函数的乘积f(x)=g(x)h(x)；

第二步：(1) 对于容易求原函数的函数，比如h(x)求原函数H(x)，如果g(x)可以写成L(H(x))的函数，则令u=H(x)，转换为容易计算的函数L(u)关于u变量的不定积分；比如

(2) 对于结构简单的函数，如h(x)求导数，看g(x)是否包含有h’(x)的导数项，或者其中的某个函数项求导数，看是否包含有导数项；如果有，则可以令h(x)为u；化简积分进行计算。比如

具体解题可以参见课件中的练习.

第三步：对于换元后的不定积分，如果不能直接基于基本不定积分计算公式和不定积分的线性运算法则写出结果，再次可以考虑换元法或者分部积分法等方法.

三、不定积分第二类换元法的常用形式

(1) 三角代换：被积函数表达式的主体能改写成平方和或平方差，尤其是根号下具有这种结构时，可考虑使用三角代换，即

x²+a²结构，则令x=atant，

x²-a²结构，则令x=asect，

a²-x²结构，则令x=asint或x=acost，

一般以上t的取值范围取值为相应三角函数的一个单调主区间.

【注】经过以上代换得到的结果为关于t的三角函数表达式，则进行逆回代时，一般借助于如下三个三角形来得到不同三角函数值用a和x描述的形式.

(2) 根式代换：当根式里面不具有以上结构，则可以考虑根式代换，即令根式直接为变量t. 如果有两个根式，且根式里面的表达式相同，则可以令根式指数的分母的公倍数对应的根式为t，比如

【注】以上两种方法换元的目的是去掉根号.

(3) 倒代换：当分母的次数远远比分子的次数高时，至少两次以上，则考虑倒代换令x=1/t.

(4) 三角函数有理分式的万能公式代换：当被积函数可以转换为一次的正弦、余弦、正切函数项构成的有理分式时，常借助于万能公式统一被积函数表达式为一个三角函数，即tan(x/2)，然后令t= tan(x/2). 三角函数的万能公式为：

【注】另外还有对数换元、指数换元、双曲函数代换等等，只要能够简化计算，达到计算不定积分的目标，不局限于任何函数代换！同时，使用换元法要记得将被积表达式中的所有变量都用新的变量替换！

参考课件节选：

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