《不定积分的分部积分法》内容小结与参考课件节选

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一、分部积分法的基本依据

不定积分的分部积分法基于两个函数的乘积的求导运算法则，即

二、分部积分法的基本思路

不定积分的分部积分法的关键是构造v.

基本思路：是将被积函数f(x)拆分成两个函数的乘积，即f(x)=g(x)h(x)，并且其中一个函数的原函数好求，如h(x)的原函数H(x)，则可以直接令u=g(x)，H(x)=v，则借助分部积分公式可以将积分转换为H(x)g’(x)的积分计算，如果该积分比原来的不定积分计算容易计算，则对f(x)的拆分是一个有效拆分，否则需要重新考虑其它方法.

三、使用原则与题型

反对幂指三：u，v的构造除了有“反(反三角函数)对(对数函数)幂(幂函数)指(指数函数)三(三角函数，主要就是正弦、余弦函数)，前者为u，后者为v”原则外：

(1)v函数的选取也可以考虑对被积函数f(x)的部分求导数的方法构造. 比如

当然这个题目也可以先考虑换元法进行计算，具体参见课件的例12.

(2)如果被积函数不好拆分，则直接令被积函数f(x)=u，x=v进行分部积分计算. 如对arcsinx，lnx直接求不定积分，则u=arcsinx，v=x；u=lnx，v=x.

(3)对含自然数n的积分, 通过分部积分建立递推公式 . 参见课件中的例9. 如果是三角函数或者可以转换三角函数的n次方的积分，则考虑借助三角函数函数的恒等式拆分n次方，比如

sinⁿxdx=sin^n-1xsinxdx=-sin^n-1xdcosx

以及参考例10.

【注1】如果要多次使用分部积分法，则注意前后的u，v所设函数类型必须一致；即第一步选用三角函数构造v，则第二次使用分部积分法时，必须也用三角函数构造v.

【注2】对于抽象函数中包含有一阶、二阶等导数乘积项的不定积分，一般直接由抽象函数的导数构造v函数，使用分部积分法计算不定积分，即

f’(x)dx=df(x)，f’’(x)dx=df’(x)，… . 

参见课件中的例11.

【注3】不定积分一般综合使用换元法与分部积分法来计算，一般都是先换元后分部.

【注4】不定积分是原函数族 , 两个不定积分相减不应为0. 参见练习5.

参考课件节选：

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