《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选

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1、定义法求积分值与判定积分的敛散性

定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限

基本思路与步骤：

(1)通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；

(2)对积分结果求极限；

(3)根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。

2、反常积分收敛性的判定方法

高等数学课程中判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论

【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。

【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。

【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。

【注4】具体内容与方法参考以下课件的部分内容和教材中的例题。

【注5】关于反常积分敛散性判定的基本思路、方法与步骤详细的讨论视频教学可以参见“第五届全国大学生数学竞赛初赛非数学竞赛试题解析”在线课堂中填空题第2题“一元函数反常积分敛散性判定的一般思路与方法”中的五个教学与学习视频！

●第1节：无穷限反常积分敛散性判定的定义法

●第2节：无穷限反常积分敛散性判定的比较法

●第3节：无界函数的反常积分敛散性判定的定义法

●第4节：无界函数的反常积分敛散性判定的比较法

●第5节：反常积分敛散性判定的基本方法与步骤实例分析

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参考课件节选：

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