《定积分的几何应用》基本解题思路与参考课件节选

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定积分的几何应用问题类型及基本解题思路与步骤：

对于定积分的几何应用一般用于求曲线段的长度、平面区域的面积和空间立体的体积。它们的求解都可以基于元素法(或称为微元法)，即“分割取近似，求和取极限”来构建定积分模型。

1、曲线段长度的计算

对于曲线段L长度的计算的思路与方法比较固定，基于弧微分计算公式，可以参考如下步骤来完成：

第一步：构建曲线段的方程描述形式，形式有一元函数表达式，参数方程和极坐标方程。对于极坐标方程可以转换为参数方程来计算，即有

x=ρ(t)cost, y=ρ(t)sint.

对于一元函数y=f(x)，也可以转换为参数方程描述形式，即

x=t,y=f(t)

第二步：确定变量的取值范围，即积分区间t∈[a,b]。

第三步：基于参数方程的弧微分计算公式，写出[t,t+d t]范围内的弧长近似值，即

第四步：求和取极限即得曲线段长度（弧长）的积分模型，即

第五步：利用定积分的方法计算定积分得到曲线段的长度。

2、平面区域的面积的积分

直接利用定积分方法计算平面区域的面积基于简单类型的平面区域面积的计算，也具有相对固定的一般思路，参考步骤如下：

第一步：写出围成区域的各条边界曲线的方程。

第二步：将区域分割成为简单的X-型区域（在所取的x变量的取值范围内做垂直于x轴的直线穿过区域，上下边界的交点分别在只需要用一个初等函数表达式描述的曲线上）或简单Y-型区域（用垂直于y轴的直线穿过区域，左右边界的交点分别在只需要用一个初等函数表达式描述的曲线上）的并，相应图形如下：

对于X-型区域（在x可能的取值范围内做垂直于x轴的直线穿过区域，交点不多于两个）与Y-型区域(在y可能的取值范围内做垂直于y轴的直线穿过区域，交点不多于两个)。可以通过垂直于坐标轴的直线将其分割成简单类型区域的并。而对于一般的区域，则可以同时借助于垂直于x与垂直于y轴的直线分割成简单区域的并，比如下图

第三步：对于简单的X-型区域与简单Y-型区域，基于曲边梯形面积的计算公式与定积分的几何意义，有如下的面积计算公式：

第四步：分别计算所有简单区域类型的面积，然后基于面积的可加性，将所有面积计算结果求和记得最终的面积计算公式。

【注】计算面积采取尽可能少分割的方式计算，比如有的区域虽然不是简单X-型区域，但是可能为简单的Y-型区域，这个时候就可以考虑不对区域进行分割成简单X-型区域来计算，而直接采用简单Y-型区域的计算公式。

3、空间立体区域体积的定积分计算方法

用定积分计算空间立体的体积仅仅适用于已知截面面积的立体体积的计算，对于这样的问题的类型及计算步骤可以概括如下：

第一步：确定一条直线作为坐标轴，直线选取的原则是空间立体可以夹在垂直于该直线（数轴）两个平面之间。在设定直线上的原点和方向构建数轴以后，定积分的积分限就为两个垂直平面所夹的区间[a,b]。

第二步：在区间内任取x，做垂直于数轴的平面截立体区域得到一个截面，对于截面的面积计算不管x的位置在区间内的任何位置，都可以描述成一个统一的函数表达式A(x)，则立体的体积即为

【注1】对于不具有统一表达式的立体，则我们可以在区间内的适当位置做垂直于数轴的平面对立体区域进行分割，将其分割成若干个可以用统一表达式描述截面面积的立体区域，然后分别使用上面的公式计算相应立体的体积，最后利用体积的可加性，对求得的各体积求和即得总的立体体积。

【注2】直线选择的不同可能有不同的积分模型。一旦确定变量及区间以后，通过对区间的分割，可能会产生不同的立体体积分割方式，也会产生不同的模型。比如课件中的柱壳法体积计算方式。参见课件例6的说明。

参考课件节选：

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