《定积分物理应用》及一般应用问题类型及基本解题思路与步骤

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可用定积分模型求解的问题类型及基本解题思路与步骤：

(1) 定型：判定所求量是否适合使用定积分模型求解

依据：需要计算的量具有可加性，即可以对所求量进行分割，总量等于各部分量之和。

(2) 定线：将所求量分布到一条有限长度的线段上，使得可以通过对线段的分割，实现对所求量的分割。量的分割方式可以就为线段上的点(如细棒的质量、变力沿直线段位移作功、变速直线运动的路程计算，直线型构件对质点的引力等)；也可以通过在线段上取点，做垂直于线段的直线（如静压力、平面区域的面积等）或者平面（如立体体积的计算）实现对所求量的分割。

【注】线段的选取不唯一。

(3) 定限：过选择的直线段，指定合适位置为原点和一个方向，建立数轴（或为坐标系中的一个坐标轴），从而线段在数轴上占有的区间[a,b]（即所求量就分布在[a,b]对应的线段上，或者分布在过a，b两点垂直于数轴的两直线或两平面之间）即为定积分的积分区间。

【注】：对于给出了函数或者变量范围的实际问题区间直接给出。比如求圆心角为a，半径为R，线密度为μ的圆弧形物体对位于圆心位置，质量为m的质点的引力，则变量的范围可以直接取为[0,a]或[-a/2,a/2]，等，坐标系建立的不同而不同。这也就是说同样的变量取值范围，可能对应不同的积分区间。(该题可以通过分割圆心角范围，计算对应小段的弧长，从而得到相应的质量计算得到小段的引力，然后通过力的分解，定积分分别求指定方向的力，本题建立的坐标系主要是为力的分解服务的)。

(4) (分割)近似：在确定使用的变量范围内，任取x∈[a,b]，给一个增量dx，则以两端点位置采取合适方式（点分割、线分割、面分割）分割总量，并用x位置属性代替小区间对应部分量的整体属性(如高、密度、力、距离等)，构建函数f(x)，将不规则问题规则化，近似描述小区间[x,x+dx]对应的部分量为f(x)dx。

(5) (求和取极限)建模：以[a,b]为积分限，f(x)dx为积分表达式，写出总量U计算的积分模型，即

(6) 计算：计算定积分。

【注1】其中(4)(5)就是元素法（或称为微元法）的基本思想，即“分割取近似，作和求极限”。

【注2】：如果对于整个区间[a,b]不能建立统一的被积表达式，可以考虑对区间进行分割，分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型，分别计算定积分，然后借助量的可加性，求和得到最终的总量。

【注3】定积分只能是数量（标量）的求和，因此对于矢量的计算应该分解为标量进行分量的计算来计算，比如引力的计算。

定积分适用的问题类型与建模步骤参见：《定积分的几何应用》基本解题思路与与参考课件节选

参考课件节选：

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