常微分方程典型题：(070108)已知通解，求微分方程

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“已知通解函数表达式，求微分方程”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．通过判断通解中的任意常数的相互独立性，确定所求微分方程的阶数。

(1) 判定通解中是否有两个任意常数可以合并为一个任意常数来表示；如果是，则所求微分方程的阶数要小于函数中包含的任意常数的个数；如果没有，则任意常数之间是相互独立的，则所求微分方程的阶数与任意常数的个数相同。

(2) 判断函数

中的n个任意常数是否相互独立，归结为判断n阶行列式

在讨论区间内是否恒等于0？

如果恒等于0，则说明它不是n阶微分方程的通解；如果不恒等于0，则它为某个n阶微分方程的通解。

2．求解微分方程的基本步骤：

第一步：求已知通解函数

从1阶到n阶关于x的导数，

第二步：由通解表达式及各阶导数构成的n+1个等式，或其中的部分等式，消去n个任意常数，得到一个包含n阶导数的等式

则该等式就是以已知函数y为通解的微分方程。

3．常微分方程的通解

如果常微分方程的解中包含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解称为微分方程的通解。

【注】值得注意的是，这里的任意常数要是相互独立的，即它们不能合并而使得任意常数的个数减少。

定义：设

是n阶常微分方程

的解，如果满足如下条件：

在由x,C₁,C₂,…,C_n构成的区域G(n+1维)内连续；

（2）行列式

则

称为微分方程

的通解。

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