《常见一阶微分方程》类型及其一般求解思路与步骤

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一、《高等数学》一阶微分方程分类：

第一类：可分离变量的微分方程及其分离变量的求解方法，包括齐次微分方程（换元法）。

第二类：一阶线性微分方程，其中齐次线性微分方程的求解归结为可分离变量的微分方程；而非齐次线性微分方程基于常数变易法，或称为待定函数法，直接得到非齐次线性微分方程的通解或者基于线性微分方程解的结构求得其一个特解来求通解：

非齐次线性微分方程的特解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次的一个特解

其中伯努利方程（换元法）归结为一阶线性微分方程。

第三类：全微分方程及基于曲线积分与路径无关的积分法，或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的方法（这部分内容在曲线积分有关积分与路径无关的内容中讨论）。

二、求解一阶微分方程的基本思路

1．改写结构，对比标准可求解类型

适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：

●可分离变量的微分方程：

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解，

●齐次方程(所谓齐次，各项次数相同)：

将原方程转换为可分离变量的微分方程求解。

●一阶线性微分方程：

(1)当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

(2)当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次线性方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式

直接得到通解，其中的不定积分都不带任意常数.

●伯努利方程：

通过两端同时除以yⁿ，令z=y^1-n将方程转换为一阶线性微分方程求解。

●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解。

满足以上条件的微分方程为全微分方程，可以通过曲线积分与路径无关求积分得到通解，或者基于全微分的形式不变性与全微分公式得到通解，即

2．换元转换，构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程

的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解。

【注】换元表达式的选取一般不具有普适性的技巧，就是通过不断改写微分方程表达式，不断尝试选取不同表达式换元，直到将微分方程换元后转换为已知类型结构为止！其中齐次方程转换为可分离变量的方程求解，伯努利方程转换为线性微分方程求解就是典型的换元求解思路。

3．变更因变量与自变量地位

将求解y函数转换为求x函数：

然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解。

【注】课件中特别关注例3（建议利用该题体验求解一阶微分方程的基本思路）；内容小结与练习中的练习2，对于右边项为分段函数的求解与讨论！

参考课件节选：

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