《可降阶的微分方程》类型及典型问题求解思路与方法

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可降阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为如下三种类型:

类型(1)： y⁽ⁿ⁾=f(x)

通过对右端项关于x变量n次不定积分，得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。

类型(2)：F(x,y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0

令u(x)= y^(n-1)，得一阶微分方程，

F(x,u,u’)=0.

通过求解一阶微分方程的方法，求解该微分方程得u(x)，问题转换为类型(1)：

y^(n-1)=u(x)，

通过对其右端项关于x变量n-1次不定积分，即得最终的通解。

类型(3)：F(y^(n-2),y^(n-1),y⁽ⁿ⁾)=0，其中y⁽⁰⁾=y(x)

令u(x)= y^(n-2)，得到二阶微分方程，即

F(u,u’,u’’)=0.

对于具有这类结构的微分方程，由于其不显含有x变量，由于x=x(u)，所以可以令u’=p(u)，从而有u’’=p’(u)p，将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程

F(u,p, p’p)=0

利用求解一阶微分方程的方法求解该微分方程p(u)，代入u’(x)=p(u)，这是一个以u为函数，x为自变量的一阶可分离变量的微分方程，求解该一阶微分方程可得u(x)，于是问题转换为类型(1)：

y^(n-2)=u(x)，

通过对其右端项关于x变量n-2次不定积分，即得最终的通解。

【注1】从以上类型及其求解方法可以看到：可降阶的微分方程可以归结为一阶微分方程！它们的求解都是通过逐次一阶微分方程求解来实现的！因此，《高等数学》教材对于常微分方程的研究对象大的分类就两类，一阶微分方程和线性微分方程。

【注2】实际中会借助微分的形式不变性和复合函数求导运算法则，也借助于换元法转换类型为以上类型或相应的一阶微分方程来计算。

【注3】高阶微分方程初值问题的求解，一般采取边求解，边确定任意常数的步骤进行，这样在一定程度上可以减少一定的计算量；同时，在计算过程中要充分利用等式所具有的一些特殊结构，达到化简计算的目的。

参考课件节选：

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