《常系数齐次线性微分方程》的求解思路与步骤

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n阶常系数齐次线性微分方程

基于线性微分方程解的结构有如下通解求解步骤与过程：

第一步：写出对应的特征方程

将y换成r，将阶数换成次数(其中0阶导数即0次)，得微分方程(*)的特征方程为

第二步：求特征根

在复数范围内解特征方程，得n个特征根(包括实根与复数根，复根成对出现).

第三步：根据特征根，写出n个特解

(1)如果特征根r_i为k_i重实根，则微分方程有k_i个特解，分别为：

(2)如果特征根s_k=α_k+β_ki为m_k重实根，则s_k=α_k-β_ki也为m_k重实根，则微分方程有2m_k个特解，分别为：

以上所有的k_i和2m_k的和等于特征方程的次数，即微分方程的阶数，由此可得微分方程n个线性无关的特解，分别把它们记作

第四步：依据齐次线性微分方程解的结构，写出通解

n阶齐次常系数线性微分方程(*)的通解为

其中C₁,C₂,…,C_n为n个任意常数. 

参考课件节选：

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