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《常系数非齐次线性微分方程》的求解思路与方法
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n阶常系数齐次线性微分方程
右边项(系数与上面齐次线性方程相同)为f(x)的n阶常系数非齐次线性微分方程为
基于线性微分方程解的结构,有如下n阶常系数非齐次线性微分方程(**)通解的求解方法与过程:
第一步:用特征方程法求对应常系数齐次线性微分方程的通解
第二步:用待定函数法求非齐次微分方程的特解
如果右边函数项f(x)不符合标准类型,则需要借助于换元法,或基于叠加原理分解成如下标准类型求解:
情形1
其中Pm(x)是m次多项式。可设特解为
其中k是λ作为齐次线性微分方程特征根的重数,Qm(x)是m次待定多项式。
情形2
其中Pm(x)为m次多项式,Ps(x)为s次多项式,Hr(x)为r次多项式,β≠0;都可设特解为
其中k是α±βi作为特征根的重数,
Qm(x),Rm(x)是m次待定多项式,对于第三种类型m=max{s,r}.
第三步:基于非齐次线性微分方程解的结构性质,写出通解
【注】如果借助叠加原理将f(x)拆分成几个符合以上情形的函数的和,然后分别求特解,则原特解为几个特解的和. 具体参见课件中的例6与练习1.
参考课件节选:
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