微分方程典型题：(070403)线性微分方程解的结构及其应用

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题与参考答案

内容小结与知识点

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线性微分方程解的结构：

设齐次线性微分方程为

与之对应的非齐次线性微分方程为

即两个方程相同阶数的导数的系数是相等的。并设y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)是齐次线性微分方程(*)的特解；设φ₁(x),φ₂(x)是非齐次线性微分方程(**)的两个特解；则有如下解的性质：

(1) y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)的线性组合

也是齐次线性微分方程(*)的解，其中C₁,C₂,…,C_n是任意常数．

(2)（齐次线性微分方程解的结构）如果y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)线性无关，那么

是齐次线性微分方程(*)的通解，其中C₁,C₂,…,C_n是任意常数．

【注1】判定函数组y₁(x),y₂(x),…,y_n(x)在区间I上的线性相关性的方法为：

是否恒等于0，如果在区间I上W(x)=0，则函数组线性相关；如果W(x)不恒等于0，即只要有一个点使得行列式不等于，则函数组线性无关。

【注2】两个函数y₁(x),y₂(x)在区间I上的线性相关性的判定：

y₁(x),y₂(x)线性相关<=>存在不全为0的常数k₁,k₂，使得

即两个函数的比值恒等于常数。

(3) （非齐次线性微分方程解的结构）如果是齐次线性微分方程(*)的通解，则y=Y+φ₁(x)是非齐次线性方程(**)的通解。即非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次的任意一个特解构成。

(4) φ₁(x)-φ₂(x)是齐次线性微分方程(*)的特解。即任意两个非齐次线性微分方程解的差是对应齐次线性微分方程的解。

(5) （叠加原理）如果φ_k(x)是非齐次线性微分方程

的特解，其中k=1,2,…,m，则

是非齐次线性微分方程

的特解。它的通解还是(*)的通解Y加上该特解得到。

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