微分方程典型题：(07040902) 欧拉方程的结构特点及求解思路与方法

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

欧拉方程及其求解方法：

具有结构

的变系数线性微分方程称之为欧拉方程。

令x=e^u，则u=lnx，于是有

记

即用D^k乘以一个函数，就是对该函数求k阶导数；并且关于D符合乘法运算律和分配律，即有

所以

用数学归纳法可以验证，

x^ky^(k)=D(D-1)…(D-k+1)y.

将原欧拉方程中x^ky^(k)全部用上式代入，则可以将原方程转化为以y为函数，u为自变量的常系数线性微分方程

Dⁿy+b₁D^n-1y+…+ b_ny=f(e^u),

即

于是，就可以通过常系数线性微分方程的求解方法求该方程的通解了。

【注】欧拉方程其实就是一种线性微分方程的结构，只不过不具有直接的显性结果，需要换元变换得到。

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