《向量代数的基本概念与基本性质》总结与典型题
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1、空间直角坐标系
(1) 空间直角坐标系不唯一;
(2) 三个坐标轴的方向符合右手法则(右手张开,四个手指指向从x轴正向向内弯曲90度转到y轴正向,则大拇指所指方向为z轴正向);
(3) 一个空间直角坐标系包括一个原点、三个坐标轴、三个坐标面、将空间分割成八个卦限.
(4) 空间直角坐标系O-xyz的三个平面依次记作xOy,yOz,zOx;并构成三个坐标面。
(5) 坐标系原点坐标为(0,0,0),坐标轴上的点的坐标(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),坐标面上的坐标(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z)及各卦限内点的坐标取值范围。
2、空间中点和向量的坐标描述
即以原点为起点,终点为P的向径;也表示长度(向量的大小)为|OP|,方向与向径OP同向的自由向量。
3、空间两点的距离公式及中点公式
空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离,即以A为起点,B为终点的向量的长度,所以有
并有两点间的中点(x0,y0,z0)坐标计算公式
4、向量关系与基本运算
设向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),λ为实数:
(1) 若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a与 b相等,记作a=b;且有
(2) 若非零向量 a 与 b方向相同相等或者相反,则称 a与 b平行,记作a//b;且有
规定:零向量与任何向量平行。因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线.
(3) 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.
(4) 与 a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作-a.
(5) 向量的加减与数乘运算符合矩阵的加减与数乘运算法则:
(6) 向量的加减法有平行四边形法则与三角形法则,并借助于三角形三边长的关系有相关的不等式结论:
(7) 任何向量都可以描述为两个向径的差,或者以任一点为起点,以该向量的终点、起点分别为终点的两个向量的差,即
6、向量的基向量描述与方向余弦
(1) 基向量i,j,k分别表示方向与x,y,z轴相同,长度为1的单位向量;
(2) 任意向量a=(ax,ay,az)可以描述为
(3) ax i,ayj,azk称为向量沿三个坐标轴方向的分向量,也是向量a在三个坐标轴上的投影向量.
(4) 向量与坐标轴的夹角及向量与三个基向量的夹角,有如下计算公式与性质:
其中α,β,γ也是向量与坐标轴x,y,z轴的夹角,称为向量的方向角,cosα,cosβ,cosγ也称为向量的方向余弦. 三个方向角,或者三个方向余弦确定了向量的方向. 最后两个式子即体现了确定向量的两个要素:大小(向量的模)与方向(单位向量,即方向余弦构成的向量),也是一个向量的单位化运算.
参考课件与例题节选:
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